giúp mình nhé tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp

BĐT này do giáo sư Vasile đề xuất, và đây là lời giải của ông ấy:

Do vai trò của các biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a^2=max\left\{a^2;b^2;c^2;d^2\right\}\)

\(\Rightarrow a^2\ge\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\)

Đặt \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\Rightarrow x^2\le a^2\) (1)

Đồng thời \(x^2=\dfrac{b^2+c^2+d^2}{3}\ge\dfrac{1}{9}\left(b+c+d\right)^2=\dfrac{a^2}{9}\Rightarrow a^2\le9x^2\) (2)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(a^2-x^2\right)\left(a^2-9x^2\right)\le0\) (3)

Ta có:

\(b^4+c^4+d^4=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-2\left(b^2c^2+c^2d^2+b^2d^2\right)\le\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(bc+cd+bd\right)^2\)

\(=\left(b^2+c^2+d^2\right)^2-\dfrac{1}{6}\left[\left(b+c+d\right)^2-\left(b^2+c^2+d^2\right)\right]^2=9x^4-\dfrac{1}{6}\left(a^2-3x^2\right)^2=\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}\)

Do đó:

\(12\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\le12a^4+12.\dfrac{45x^4+6a^2x^2-a^4}{6}=90x^4+12a^2x^2+10a^4\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(7\left(a^2+3x^2\right)^2\ge90x^4+12a^2x^2+10a^4\)

\(\Leftrightarrow a^4-10a^2x^2+9x^4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-9x^2\right)\left(a^2-x^2\right)\le0\) (đúng theo (3))

Vậy BĐT được chứng minh hoàn tất.

Dấu "=" xảy ra khi \(b=c=d=-\dfrac{a}{3}\) và các hoán vị của chúng

a² + b² + (a + b)² = c² + d² + (c +d)² => 2.(a² + b²) + 2ab = 2.(c² + d²) + 2cd

=> a² + b² + ab = c² + d² + cd   (1)

+) a⁴ + b⁴ + (a + b)⁴ = (a² + b²)²  - 2a².b² + (a + b)⁴ = [(a² + b²)² - a².b²] + [(a + b)⁴ - a².b²]

= (a² + b² - ab). (a² + b² + ab) +  [(a + b)² - ab].[(a+ b)² + ab]

=  (a² + b² - ab). (a² + b² + ab) + (a² + b² + ab). (a² + b² + 3ab) = (a² + b² + ab). [(a² + b² - ab) + (a² + b² + 3ab)]

= 2.(a² + b² + ab).(a² + b² + ab) = 2.(a² + b² + ab)²           (2)

Tương tự: c⁴ + d⁴ + (c+d)⁴ = 2. (c² + d² + cd)²   (3)

Từ (1)(2)(3) => đpcm