‐ Ta có trên trục số \(2\) điểm \(A\) và \(B\) lần lượt là :\(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\) 

mà trên trục số\(\frac{a}{b}\) nằm bên trái\(\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
‐ Như ta đã biết : Nếu\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)

Mà kí hiệu\(\frac{a+c}{b+d}\) là \(C\)

Vậy ta luôn có \(C\) nằm giữa \(A,B\)

\(\Rightarrow\) Trên trục số,giữa \(2\) điểm biểu diễn \(2\) số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và\(\frac{c}{d}\)
luôn tồn tại \(1\) điểm biểu diễn số hữu tỉ khác \(\left(DPCM\right)\)

NHỚ TK MK NHA

CÁCH 2 NÈ

+) Nếu\(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow2.\frac{a}{b}>\frac{a}{b}+\frac{c}{d}>2.\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}>\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}\)là một điểm hữu tỉ nằm giữa 2 điểm \(\frac{a}{b}\) và\(\frac{c}{d}\)trên trục số\(\left(1\right)\)

Tương tự:

+)Nếu\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)thì\(\frac{a}{b}< \frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}< \frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}\)là một điểm hữu tỉ nằm giữa 2 điểm\(\frac{a}{b}\) và\(\frac{c}{d}\)trên trục số\(\left(2\right)\)

Từ\(\left(1\right)\)và\(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)trên trục số giữa hai điểm hữu tỉ tùy ý a/b và c/d ( a,b,c, d thuộc z ;b,d khác 0)luôn tồn tại một điểm hữu tỉ khác.

NHỚ TK MK NHA

Mình làm câu a

\(Để\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) thì a(b+d) < b(a+c) ↔ ab + ad , ab + bc ↔ ab < bc ↔ \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

\(Để\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) thì (a+c).d < (b+d).c ↔ ad + cd < bc + cd ↔ ab < bc ↔ \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

nhân chéo thôi

3.- Xét a(b+2001)=ab+2001a

        b(a+2001)=ab+2001b

- Ta xét 3 trường hợp sau:

+Nếu a>b =>2001a>2001b

                 =>a(b+2001)>b+(a+2001)

                 =>a/b > a+2001/b+2001

+Nếu a<b =>2001a<2001b

                 =>a(b+2001)<b+(a+2001)

                 =>a/b < a+2001/b+2001

+Nếu a=b =>a/b = a+2001/b+2001

Bài làm:

Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\Leftrightarrow\frac{ad}{ac}< \frac{bc}{ac}\Leftrightarrow\frac{d}{c}< \frac{b}{a}\)

Học tốt!!!!

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+2c}{b+2d}=\frac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a+2c}{b+2d}=\frac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow\left(a+2c\right)\left(b+d\right)=\left(a+c\right)\left(b+2d\right)\)(đpcm)

Chúc bạn học tốt