\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\frac{4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để A nguyên thì $ phải chia hết cho \(\sqrt{x}\)-3<=>\(\sqrt{x}\)-3 là Ư(4)

Mà Ư(4)={+-1;+-2;+-4}

Do x là số nguyên.Ta có bảng sau:

Vậy x={16;4;25;1;49}

\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\frac{4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để A có giá trị nguyên thì:

\(1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-3\inƯ\left(4\right)=\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

ta có bảng sau:

Vậy x={1;4;16;25;4} thì A có giá trị nguyên

Bài 5:

\(C=\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac{2(\sqrt{x}-2)+1}{\sqrt{x}-2}=2+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Để $C$ nguyên nhỏ nhất thì $\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ là số nguyên nhỏ nhất.

$\Rightarrow \sqrt{x}-2$ là ước nguyên âm lớn nhất

$\Rightarrow \sqrt{x}-2=-1$

$\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn đkxđ)

Bài 6:

$D(\sqrt{x}+1)=x-3$

$D^2(x+2\sqrt{x}+1)=(x-3)^2$

$2D^2\sqrt{x}=(x-3)^2-D^2(x+1)$ nguyên 

Với $x$ nguyên ta suy ra $\Rightarrow D=0$ hoặc $\sqrt{x}$ nguyên 

Với $D=0\Leftrightarrow x=3$ (tm)

Với $\sqrt{x}$ nguyên:

$D=\frac{(x-1)-2}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}$

$D$ nguyên khi $\sqrt{x}+1$ là ước của $2$

$\Rightarrow \sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}$

$\Leftrightarrow x=0; 1$

Vì $x\neq 1$ nên $x=0$.

Vậy $x=0; 3$

Bài 6: 

Để D nguyên thì \(x-3⋮\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;1\right\}\)

a, \(A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{-\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}}\)

\(A=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right):\frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\frac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}}\)

\(A=\frac{4}{\sqrt{x}+2}\)

b, \(A=\frac{4}{\sqrt{x}+2}=\frac{2}{3}\)

=> 2cawn x + 4 = 12

=> 2.căn x = 8

=> căn x = 4

=> x = 16 (thỏa mãn)

c, có A = 4/ căn x + 2 và B  = 1/căn x - 2

=> A.B = 4/x - 4 

mà AB nguyên

=> 4 ⋮ x - 4

=> x - 4 thuộc Ư(4) 

=> x - 4 thuộc {-1;1;-2;2;-4;4}

=> x thuộc {3;5;2;6;0;8} mà x > 0 và x khác 4

=> x thuộc {3;5;2;6;8}

d, giống c thôi

x-3=k^2

x=k^2+3

x+1-k=t^2

k^2+4-k=t^2

(2k-1)^2+15=4t^2

(2k-1-2t)(2k-1+2t)=-15=-1.15=-3*5

---giải phương trình nghiệm nguyên với k,t---

TH1. [2(k-t)-1][2(k+t)-1]=-1.15

2(k-t)-1=-1=> k=t

4t-1=15=>t=4    nghiệm (-4) loại luôn

với k=4=> x=19 thử lại B=căn (19+1-can(19-3))=can(20-4)=4 nhận

TH2. mà có bắt tìm hết đâu

x=19 ok rồi

ô hay vừa giải xong mà

x=k^2+3

với k là nghiệm nguyên của phương trình

k^2-k+4=t^2

bắt tìm hết hạy chỉ một

x=19 là một nghiệm 

\(A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để A là 1 số nguyên dương thì:

\(\hept{\begin{cases}\frac{4}{\sqrt{x}-3}>-1\\\sqrt{x}-2\inƯ\left(4\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{4}{\sqrt{x}-3}+1>0\\\sqrt{x}-3\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}>0\\\sqrt{x}-3\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-3>0\\\sqrt{x-3}\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{1;2;4\right\}\)

Với \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-3=1\Rightarrow\sqrt{x}=4\Rightarrow x=16\\\sqrt{x}-3=2\Rightarrow\sqrt{x}=5\Rightarrow x=25\\\sqrt{x}-3=4\Rightarrow\sqrt{x}=7\Rightarrow x=49\end{cases}}\Rightarrow x\in\left\{16;25;49\right\}\)

cảm ơn bn mk làm xong rồi