\(N=\frac{x^2-4x+8-x^2-8x-16}{x^2-4x+8}=1-\frac{\left(x+4\right)^2}{\left(x-2\right)^2+4}\le1\)

\(N_{max}=1\) khi \(x=-4\)

\(N=\frac{-x^2+4x-8+x^2}{x^2-4x+8}=-1+\frac{x^2}{\left(x-2\right)^2+4}\ge-1\)

\(N_{min}=-1\) khi \(x=0\)

Lời giải:
\(N=\frac{4(x-2)}{(x^2-4x+4)+4}=\frac{4(x-2)}{(x-2)^2+4}=\frac{4t}{t^2+4}\)

Có:

\(N+2=\frac{t^2+4t+4}{t^2+4}=\frac{(t+2)^2}{t^2+4}\geq 0, \forall t\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow N\geq -2\) hay $N_{\min}=-2$ khi $t=-2\Leftrightarrow x=0$

\(N-2=-\frac{t^2-4t+4}{t^2+4}=\frac{-(t-2)^2}{t^2+4}\leq 0, \forall t\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow N\leq 2\) hay $N_{\max}=2$ khi $t=2\Leftrightarrow x=4$

Vậy......

Ta có: \(\frac{3x+4}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)+1}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)}{x+1}+\frac{1}{x+1}=3+\frac{1}{x+1}\left(x\ne-1\right)\).

    - Để  \(3+\frac{1}{x+1}\) đạt giá trị lớn nhất thì  \(\frac{1}{x+1}\) đạt giá trị dương lớn nhất

-> x+1 đạt giá trị dương nhỏ nhất  (x+1 khác 0)

-> x đạt giá trị dương nhỏ nhất

-> x=0

- Để  \(3+\frac{1}{x+1}\) đạt giá trị  nhỏ nhất thì  \(\frac{1}{x+1}\) đạt giá trị âm nhỏ nhất

-> x+1 đạt giá trị âm lớn nhất

-> x đạt giá trị âm lớn nhất

-> x= 0 

Đặt \(\sqrt{x-4}=t\left(t\ge0\right)\Rightarrow x=t^2+4\)Khi đó \(A=\frac{t}{2t^2+8}\Rightarrow2At^2-t+8A=0\)

\(\Delta=1-64A^2\). Pt có nghiêm<=> \(\Delta\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(1-64A^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(A^2\le\frac{1}{64}\)\(\Leftrightarrow\)\(-\frac{1}{8}\le A\le\frac{1}{8}\)

Do đó \(MinA=\frac{-1}{8}\)khi \(t=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{\Delta}}{2.2A}=\frac{1-\sqrt{1-64.\left(-\frac{1}{8}\right)^2}}{4.\left(-\frac{1}{8}\right)}=-2\)(loại)

          \(MaxA=\frac{1}{8}khi\\ t=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{\Delta}}{2.2A}=\frac{1-\sqrt{1-64.\left(\frac{1}{8}\right)^2}}{4.\frac{1}{8}}=2\)(thỏa)

\(\Rightarrow\sqrt{x-4}=2\Rightarrow x=8\)

Vậy MaxA=1/8 khi x=8

min trước nhé max mình đang nghĩ 

ta có 

ĐKXĐ \(x>=4\)

vì x>=4 => 2x>0 và \(\sqrt{x-4}>=0\)

=> \(\frac{\sqrt{x-4}}{2x}>=0\)

dấu = xảy ra <=> x=4

min của bạn long sai rồi A>=0 mà 

t acùng tìm max = cách khác nhé 

ta có \(A=\frac{\sqrt{x-4}}{2x}=\frac{4.\sqrt{x-4}}{8x}=\frac{x-\left(x-4\right)+4\sqrt{x-4}-4}{8x}\)

            \(=\frac{1}{8}-\frac{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}{8x}\)

đến đây thì dễ rồi nhé A max=1/8<=> x=8

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

\(\left(x+y\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)=2.2=4\)

<=>\(-2\le x+y\le2\)

GTNN của x+y là -2 khi x=y=-1

GTLN của x+y là 2 khi x=y=1

thank you verry much