Đa thức \(g\left(x\right)=x^2+x-6\)có nghiệm \(\Leftrightarrow x^2+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-3x-6=0\Leftrightarrow x\left(x+2\right)-3\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-2\end{cases}}\)

Để đa thức f(x) = x³+ax²-bx+12 chia hết cho g(x) = x²+x-6 thì 3 và -2 cũng là hai nghiệm của đa thức x³+ax²-bx+12

Nếu x = 3 thì \(f\left(3\right)=27+9a-3b+12=0\)

\(\Leftrightarrow9a-3b=-39\Leftrightarrow3a-b=-13\)(1)

Nếu x = -2 thì \(f\left(-2\right)=-8+4a+2b+12=0\)

\(\Leftrightarrow4a+2b=-4\Leftrightarrow2a+b=-2\)(2)

Lấy (1) + (2), ta được: \(5a=-15\Leftrightarrow a=-3\)

\(\Rightarrow b=-2+3.2=4\)

Vậy a= -3; b = 4

Để f(x) = x³+ax²+bx-2 chia hết cho g(x) =x²+1 thì \(\left(b-1\right)x-\left(a+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b-1=0\\a+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=-2\end{cases}}\)

Giải:

Từ giả thiết ta có:

\(\hept{\begin{cases}f\left(x\right)=\left(x+2\right)q_1\left(x\right)\\\\f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)q_2\left(x\right)+x\end{cases}}\)

Suy ra \(\hept{\begin{cases}f\left(-2\right)=0\\f\left(1\right)=1\\f\left(-1\right)=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}32+4a-2b+c=0\\2+a+b+c=1\\2+a-b+c=-1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\frac{28}{3}\\b=1\\c=\frac{22}{3}\end{cases}}}\)

Đặt f(x) = 2x4+ax2+bx+c

Áp dụng định lí Be - du ta có: r = f(x)

=> {r=f(2)r=f(1)r=f(−1)

Thay x = 2; 1; -1 lần lượt vào f(x) ta được:

{f(2)=32+4a+2b+cf(1)=2+a+b+cf(−1)=2+a−b+c

Mà {f(x)⋮(x−2)f(x)chia(x2−1)dư2x => {32+4a+2b+c=02+a+b+c=22+a−b+c=−2

=> {4a+2b+c=−32(1)a+b+c=0(2)a−b+c=−4(3)

Trừ (2) cho (3) ta được: 2b=4 => b = 2

=> {4a+c=−36(4)a+c=−2(5)

Trừ (4) cho (5) ta được: 3a=−34 => a = −343 => c = 283

Vậy a = −343 ; b = 2 ; c = 283

P/s: Hi vọng bn hiểu!

Bn tham khảo nhé:

f(x) =x^4-x^3-3x^2+ax+b 
x^2-x-2 = (x+1)(x-2). Gọi g(x) là thương của f(x) với (x+1)(x-2). Khi đó: 
f(x) =(x+1)(x-2).g(x) +2x-3 
f(-1) =0+2.(-1)-3 =-5; f(2) =0+2.2-3 =1 
Mặt khác f(-1)= 1+1-3-a+b =-1-a+b và f(2)=2^4-2^3-3.2^2+2a+b = -4+2a+b 
Giải hệ: -1-a+b=-5 và -4+2a+b =1 ta được a= 3; b= -1 

F(-2)=0=> -8a+4b+c=0 (1)

f(1)=6=> a+b+c=6 (2)

f(-1)=4=> -a+b+c=4 (3)

(2) trừ (3)=> 2a=2=> a=1; thay vào (3)=> c=5-b thay vào (1)

-8+4b+5-b=0=> b=1

\(\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=1\\c=4\\f\left(x\right)=-x^3+x^2+4\end{matrix}\right.\)

Mình có nghĩ ra cách này mọi người xem giúp mình với

f(x) = \(ax^2+bx+c\) 

Ta có f(0) = 2 => c = 2

Ta đặt Q(x) = \(ax^2+bx+c-2020\)

và G(x) = \(ax^2+bx+c+2021\)

f(x) - 2020 chia cho x - 1 hay Q(x) chia cho x - 1 được số dư

\(R_1\) = Q(1) = \(a.1^2+b.1+c-2020=a+b+c-2020\)  

Mà Q(x) chia hết cho x-1 nên \(R_1\) = 0

hay \(a+b+c-2020=0\). Mà c = 2 => a + b = 2018 (1)

G(x) chia cho x + 1 số dư 

\(R_2\) = G(-1) = \(a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c+2021=a-b+2+2021\)

Mà G(x) chia hết cho x + 1 nên \(R_2\)=0

hay \(a-b+2+2021=0\) => \(a-b=-2023\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2018\\a-b=-2023\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{5}{2}\\b=\dfrac{4041}{2}\end{matrix}\right.\)

ko biết !!!

\(f\left(0\right)=2\Rightarrow c=2\)

\(f\left(x\right)-2020\) chia hết \(x-1\Rightarrow f\left(1\right)-2020=0\)

\(\Rightarrow a+b+c-2020=0\Rightarrow a+b-2018=0\)

\(f\left(x\right)+2021\) chia hết \(x+1\Rightarrow f\left(-1\right)+2021=0\)

\(\Rightarrow a-b+c+2021=0\Rightarrow a-b+2023=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2018\\a-b=-2023\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5}{2}\\b=\dfrac{4041}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: x là số nguyên và x chia hết cho 5

=> \(ax^3\)chia hết cho 5

\(bx^2\)chia hết cho 5

\(cx\)chia hết cho 5

\(d\)chia hết cho 5

Suy ra cả a,b,c,d đều chia hết cho 5