Bài toán sai.

Ví dụ: a \(\ge\) b \(\ge\) c  1

Thì có a=1, b=1, c=1

\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{b+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}<2\)

xin lỗi mk nhầm đề!!

bạn giải chi tiết ra cho mk đc ko?

\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=1\Rightarrow1-\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+a}\ge\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\) (1)

Tương tự ta có:

\(\dfrac{b}{1+b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\) (2)

\(\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\) (3)

Nhân vế (1);(2);(3):

\(\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{8}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Rightarrow abc\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

999 - 888 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111

= 111 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111

= 0 + 111 - 111 + 111 - 111

= 111 - 111 + 111 - 111

= 0 + 111 - 111

= 111 - 111

= 0

khó quá

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+a+b+c+}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Cái đó chỉ đúng khi 1/1+a=1/1+b=1/1+c thoi

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\ge\)luôn đúng

=> đpcm

các bạn ơi !có đ hỏi tv k?bởi vì mình đang cần hỏi tv nha các cậu

các bạn ơi

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :

\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{1}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

ko biét

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)