\(A=\frac{abc}{a+b+c}=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}=\frac{\left(a+b+c\right)+99a+9b}{a+b+c}=1+9.\frac{11a+b}{a+b+c}\)

A nhỏ nhất  \(\Rightarrow\frac{11a+b}{a+b+c}\) nhỏ nhất => c lớn nhất => c = 9

Khi đó \(A=1+9.\frac{11a+b}{a+b+9}=1+9.\frac{a+b+9+10a-9}{a+b+9}=1+9+9.\frac{10a-9}{a+b+9}\)

Ta có \(10a-9\ge10.1-9>0\)
A nhỏ nhất \(\Rightarrow\frac{10a-9}{a+b+9}\) nhỏ nhất => b lớn nhất => b = 9

Khi đó: \(A=10+9.\frac{10a-9}{a+9+9}=10+9.\frac{10\left(a+18\right)-9-10.18}{a+18}=10+90-9.\frac{189}{a+18}\)

A nhỏ nhất => \(-9.\frac{189}{a+18}\)nhỏ nhất => \(\frac{189}{a+18}\) lớn nhất => a nhỏ nhất => a = 1

Vậy:  A nhỏ nhất khi a = 1; b = c = 9.

b) http://olm.vn/hoi-dap/question/113503.html

a) \(k=\frac{abc}{a+b+c}=\frac{100a+10b+c}{a+b+c}\le\frac{100a+100b+100c}{a+b+c}=100\)

=> k lớn nhất = 100 khi 10b = 100b và c = 100c

=> b = 0 và c = 0 

=> tỉ số k lớn nhất khi b = c = 0; a tùy ý  => các số đó là 100; 200; ...900

abc là tích của 3 số hay là số có 3 chữ số vậy bạn.

+abc có 3 chữ số nên a,b,c < 7 (7! > 1000)
+a,b,c phải có ít nhất 1 số lớn hơn 4 ( vì 4! + 4! + 4! < 100)
=> 1 trong 3 số a, b, c = 5 hoặc 6.
+Nếu số đó bằng 6; 6! = 720 => a > 7 => loại.
=>Do đó chắc chắn có 1 số bằng 5.

(Do 5! + 5! + 5! < 500 nên a không phải là 5; 5 là b hoặc c.)

Giờ còn ít trường hợp hơn ban đầu nên ta có thể dùng cách thay số để tìm ra kết quả.

Tìm x;y  5! + x! + y! = số có 5;x;y (x;y) = (5;5); (5;4); (5;3); (5;2); (5;1) ; (4;4); (4;3); (4;2) (4;1) (3;3) (3;2) (3;1) (2;2) (2;1)

Ta tìm được 1! + 4! + 5! = 145

Vậy a = 1; b = 4; c = 5.

+abc có 3 chữ số nên a,b,c < 7 (7! > 1000)
+a,b,c phải có ít nhất 1 số lớn hơn 4 ( vì 4! + 4! + 4! < 100)
=> 1 trong 3 số a, b, c = 5 hoặc 6.
+Nếu số đó bằng 6; 6! = 720 => a > 7 => loại.
=>Do đó chắc chắn có 1 số bằng 5.

(Do 5! + 5! + 5! < 500 nên a không phải là 5; 5 là b hoặc c.)

Giờ còn ít trường hợp hơn ban đầu nên ta có thể dùng cách thay số để tìm ra kết quả.

Tìm x;y  5! + x! + y! = số có 5;x;y (x;y) = (5;5); (5;4); (5;3); (5;2); (5;1) ; (4;4); (4;3); (4;2) (4;1) (3;3) (3;2) (3;1) (2;2) (2;1)

Ta tìm được 1! + 4! + 5! = 145

Vậy a = 1; b = 4; c = 5

+abc có 3 chữ số nên a,b,c < 7 (7! > 1000)
+a,b,c phải có ít nhất 1 số lớn hơn 4 ( vì 4! + 4! + 4! < 100)
=> 1 trong 3 số a, b, c = 5 hoặc 6.
+Nếu số đó bằng 6; 6! = 720 => a > 7 => loại.
=>Do đó chắc chắn có 1 số bằng 5.

(Do 5! + 5! + 5! < 500 nên a không phải là 5; 5 là b hoặc c.)

Ta có: 5! +5! +5! = 360 (không thỏa) => abc ≤ 5! + 5! + 4! =264
=> a ≤ 2 => a = 2 hoặc a = 1
+a = 2
 5! + 2! + x! = 25x hoặc 2x5 . Thử x = 1; 2; 3; 4; 5  ta thấy đều không thỏa.
+a = 1
1! + 5! + x! = 15x hoặc 1x5. Thử x = 1;2;3;4;5 ta tìm được x = 4 thì 1! + 4! + 5! = 145 (thỏa mãn).

Vậy a = 1; b = 4; c = 5
1! + 4! + 5! = 145 là trường hợp duy nhất thỏa đề

ra 125 may thang em cua anh a

thế ra làm sao dc phai 1000/(a+b+c)=abc moi ra dc la 125

con the nay thi chiu

nam moooooooooooooooooooooooooooooooo

Số cần tìm là 512

Vì abc<1000

=>a<7

=>abc<700

=> 1<=a,b,c<=5

Ta đi chứng minh trong 3 số a,b,c tồn tại một số bằng 5

Thật vậy: Giả sử cả 3 số a,b,c<=4

=>abc<=72<100 vô lí

Do đó a=5 hoặc b=5 hoặc c=5

*Nếu a=5

Ta có

500+bc=5!+b!+c!<=240+b!

=>b!+240>500

=>b!>260

=>b>5 vô lí

Nên a<=4

*Nếu b=5

Lập luận tương tự b<=4

*Nếu c=5

Tìm được a=1;b=4

Vậy…

abc=100a+ 10b +c =a! +b! +c!. 
0! = 1, 2! = 2, 3!= 6, 4! = 24, 5!= 120, 6!= 720, 7! = 5040 (4 chữ số) => a; b; c <7, a khác 0 
- xét trường hợp a= 6, thì 600+ 10b+ c= 720+b! + c! <=> 10b+ c =120 +b! +c! (vô lý vì b, c <7) 
- nếu a= 5 thì 500+ 10b +c = 120 +b!+ c! [vô lý vì vt >500, vp <360 (a=5, b=5, c=5)] ( vt= vế trái, vp= vế phải) 
- nếu a= 4 thì 400+ 10b +c = 24 +b!+ c! [vô lý vì vt >400, vp < 264 (a=4, b=5, c=5)] 
- nếu a= 3 thì 300+ 10b +c = 6 +b!+ c! [vô lý vì vt >300, vp <246 (a=3, b=5, c=5) ] 
các trường hợp a=5,4,3 thì b và c không thể là số 6, giá trị lớn nhất của b và c là 5 
- nếu a= 2 thì 200+ 10b +c = 2+b!+ c! <=> 128+ 10b+ c= b! + c! => b hoậc c là 5 
+ b= 5 thì 128+ 50 +c= 120+ c! (không tồn tại c ) 
+c=5 thì 128+10b+ 5= b! +120 (không tồn tại b ) 
=> a=1 và ta có 100+ 10b+ c= 1 +b! +c! => b hoặc c là 5 
+ b=5 thì 100+ 50+ c= 1 +120 +c! ( không tồn tại c) 
+c= 5 thì 100+ 10b+ 5= 1 +b! +120 <=> 10b= 16+ b! <=> b=4 
vậy abc= 145. 
bài giải hơi dài, nhưng suy nghĩ ra nghiệm dễ vì a, b, c chạy từ 0 đến 6