Gọi d là ƯCLN(5n+7, 3n+4), d \(\in\)N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5n+7⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(5n+7\right)⋮d\\5\left(3n+4\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}15n+21⋮d\\15n+20⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(15n+21\right)-\left(15n+20\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(5n+7,3n+4\right)=1\)

\(\Rightarrow\) 5n+7 và 3n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ta có : k là ƯCLN của 7n + 10 và 5n + 7 
Vậy : 7n + 10 chia hết cho k ; 5n + 7 chia hết cho k 
Hay 5(7n + 10 ) và 7(5n + 7 ) 
      35n + 50 và 35n + 49 chia hết cho k 
=> ĐPCM 
Hai bài kia bạn làm tương tư nhé , chúc may mắn 

a) Gọi ƯCLN của 3n+2 và 5n+3 là m

3n+2 chia hết cho m<=>15n+10 chia hết cho m

5n+3 chia hết cho m<=>15n+9 chia hết cho m

=>15n+10-(15n+9) chia hết cho m

1 chia hết cho m

m=1

=> ƯCLN của 3n+2 và 5n+3 là 1=>3n+2 và 5n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Câu hỏi tương tự nhé bạn ! 
UCLN = 7 
Tick mình nha

Đặt (3n+4, 5n+1) = d

\(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}3n+4⋮d\\5n+1⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}5\left(3n+4\right)⋮d\\3\left(5n+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix}15n+20⋮d\\15n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) (15n+20) - (15n+3) \(⋮\) d

\(\Rightarrow\) 20 - 3 \(⋮\) d

\(\Rightarrow\) 17 \(⋮\) d

\(\Rightarrow\) d = \(\left\{1;17\right\}\)

Vì 3n+4 và 5n+1 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\) d \(\ne\) 1

\(\Rightarrow\) d = 17

Vậy (3n+4, 5n+1) = 17

Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN(3n,3n+1)$

$\Rightarrow 3n\vdots d; 3n+1\vdots d$

$\Rightarrow (3n+1)-3n\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1(1)$

Gọi $k=ƯCLN(3n, 5n+3)$

$\Rightarrow 3n\vdots k, 5n+3\vdots k$

$\Rightarrow 3(5n+3)-5.3n\vdots k\Rightarrow 9\vdots k$

$\Rightarrow k\in \left\{1; 3; 9\right\}$

Vậy $3n, 5n+3$ không có cơ sở để khẳng định là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Gọi d là UCLN(5n+3;3n+2)

=> 5n+3\(⋮\)d <=> 15n+9\(⋮\)d

=> 3n+2\(⋮\)d<=> 15n+10 \(⋮\)d

=> 15n+10-15n-9\(⋮\)d<=>1\(⋮\)d=> d=1

d=1=> 5n+3 VÀ 3N+2  LÀ 2 SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU

Gọi UCLN(5n+3;3n+2) là d

Ta có

5n+3 chia hết cho d => 15n+9 chia hết cho d

3n+2 chia hết cho d=> 15n+10 chia hết cho d

=>(15n+10)-(15n+9) chia hết cho d

=> 15n+10-15n-9=1 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)=> d=1

=> UCLN(5n+3;3n+2)=1=> 5n+3 và 3n+2 nguyên tố cùng nhau

                                 goi d la UCLN(5n+3;3n+2)   d thuoc N*

          Ta co (5n+3) *3=15n+9chia het cho d

                    (3n+2)*5=15n+10 chia het cho d

tu day ta co:(15n+10)-(15n+9) chia het cho d

                    =1 chia het cho d

            vay d=1va UCLN(5n+3;3n+2)=1

           vay suy ra 5n+3va 3n+2 nguyen to cung nhau