Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1, x=2$. Ta muốn tính diện tích $S$ của hình thang cong này.
a) Với mỗi $x \in[1 ; 2]$, gọi $S(x)$ là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục $0 x$ tại điểm có hoành độ bằng 1 và $x(\mathrm{H} .4 .5)$.
Cho $h>0$ sao cho $x+h<2$. So sánh hiệu $S(x+h)-S(x)$ với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra $0 \leq \frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2 \leq 2 x h+h^2$.
b) Cho $h<0$ sao cho $x+h>1$. Tương tự phần a, đánh giá hiệu $S(x)-S(x+h)$ và từ đó suy ra $2 x h+h^2 \leq \frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2 \leq 0$.
c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi $\mathrm{h} \neq 0$, ta có $\left|\frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2\right| \leq 2 x|h|+h^2$.
Từ đó chứng minh $S^{\prime}(x)=x^2, x \in(1 ; 2)$.
Người ta chứng minh được $S^{\prime}(1)=1, S^{\prime}(2)=4$, tức là $S(x)$ là một nguyên hàm của $x^2$ trên $[1 ; 2]$.
d) Từ kết quả của phần c , ta có $S(x)=\frac{x^3}{3}+C$. Sử dụng điều này với lưu ý $\mathrm{S}(1)=0$ và diện tích cần tính $\mathrm{S}=$ $S(2)$, hãy tính $S$.
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm tùy ý của $f(x)=x^2$ trên $[1 ; 2]$. Hãy so sánh $S$ và $F(2)-F(1)$.
