chứng minh rằng nếu 3 số x,y,z thỏa mản
x+y+z=0 và \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=\(\frac{1}{a}\)
thì một trong 3 số x,y,z phải bằng a
Chứng minh rằng nếu x+y+z=a và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\) thì tồn tại một trong ba số x,y,z bằng a.
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: xyz = 1.Chứng minh rằng:
Nếu \(x+y+z>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) thì trong 3 số x, y, z có duy nhất một số lớn hơn 1.
Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 2019 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}\)
Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số bằng 2019.
Chứng minh rằng x,y,z thỏa mãn:
x+y+z = 2017 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2017}\)
thì 1 trong 3 số x,y,z là bằng 2017.
\(\frac{x}{y}=\frac{x}{t}\Leftrightarrow\frac{x}{z}=\frac{y}{t}=\frac{x-y}{z-t}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^{2017}}{z^{2017}}=\frac{y^{2017}}{t^{2017}}=\frac{\left(x-y\right)^{2017}}{\left(z-t\right)^{2017}}=\frac{x^{2017}+y^{2017}}{z^{2017}+t^{2017}}\)
\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
P/s: Ko chắc
Ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2017}\\\frac{1}{x+y+z}=\frac{1}{2017}\end{cases}}\)
suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y+z-z}{z\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{xz+yz+z^2+xy}{xy\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xz+yz+z^2+xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(z\left(y+z\right)+x\left(y+z\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
Nếu x + y = 0 thì z = 2017.
Nếu y + z = 0 thì x = 2017.
Nếu x + z = 0 thì y = 2017.
cho 3 số x,y,z thỏa mản:
x+y+z=a và \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=\(\frac{1}{a}\)
chứng minh một trong 3 số x,y,z bằng a
Chứng minh rằng:
a, nếu x+y=1 thì \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}=0\)
b, nếu x,y,z khác -1 thì\(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+z+y+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}=3\)
c, Cho x,y,z đôi một khác nhau thỏa mãn\(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0\) thì\(\frac{x}{\left(y-z\right)^2}+\frac{y}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=0\)
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện: \(x+y+z=3\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\).
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x,y,z bằng 3.
Từ x+y+z=3 ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\frac{\Leftrightarrow xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
Nhân chéo ta có:
\(\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xyz+x^2z+y^2x+y^2z+xyz+xyz+z^2y+z^2x=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+y^2x+z^2x+z^2y+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y+x^2z+y^2x+xyz\right)+\left(y^2z+z^2x+z^2y+xyz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(xy+xz+y^2+yz\right)+z\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(xy+xz+y^2+yz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[\left(xy+y^2\right)+\left(xz+yz\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)=0\)
Suy ra x+z=0 hoặc y+z=0 hoặc x+y=0
Với x+z=0 ta đc y=3
Với y+z=0 ta đc x=3
Với x+y=0 ta đc z=3
Từ đó suy ra đccm
Cho 3 số x,y,z (x #0, y#0, z#0, x+y+z # 0 ) thỏa mãn điều kiện :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\). Chứng minh trong ba số luôn tồn tại một cặp số đối nhau.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)
=> ...............................................
Chứng minh rằng: nếu x,y,z là ba số khác 0 và thỏa mãn
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
ơ quên thêm đề bài là: thì trong ba số đó đối nhau
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)\cdot\left(xy+yz+zx\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{xyz}{xyz\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\cdot\left(xy+yz+zx\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+yz^2+y^2z+z^2x+zx^2+3xyz=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y+xy^2\right)+\left(y^2z+xyz\right)+\left(yz^2+z^2x\right)+\left(zx^2+xyz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)+yz\left(x+y\right)+zx\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=0\\\orbr{\begin{cases}y+z=0\\z+x=0\end{cases}}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-y\\\orbr{\begin{cases}y=-z\\z=-x\end{cases}}\end{cases}}}\)
Vậy tồn tại trong 3 số x, y, z có 2 số đối nhau