Ta có \(\left(n^2-8\right)^2+36=n^4-16n^2+100=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để \(\left(n^2-8\right)^2+36\)là số nguyên tố thì \(\hept{\begin{cases}n^2-6n+10=1\\n^2+6n+10=1\end{cases}}\)

Do \(n\in N\Rightarrow n^2+6n+10>n^2-6n+10\)

Có \(n^2-6n+10=1\Leftrightarrow n^2-6n+9=0\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow n=3\)

Vậy với n = 3 thì \(\left(n^2-8\right)^2+36\) là số nguyên tố

\(\left(n^2-8\right)^2+36=n^4-16n^2+100=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để \(\left(n^2-8\right)^2+36\)là số nguyên tố thì 

\(n^2+6n+10\)là số nguyên tố và \(n^2-6n+10=1\)

\(\Leftrightarrow n^2-6n+9=0\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\Leftrightarrow n=3\)

Vừa làm vừa nháp nên bạn chú ý nhé ! 

ít nhất 1 trong 3 số bằng 1 thì ta nghĩ đến \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)

\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

\(=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)\)

\(=abc-ab-ac-bc+a+b+c-1\)

\(=a+b+c-ab-bc-ca\) ( 1 )

Biến đổi giả thiết:\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\)

Khi đó ( 1 ) = 0 => đpcm

a

\(\left(n^2-8\right)^2+36\)

\(=n^4-16n^2+64+36\)

\(=\left(n^4+20n^2+100\right)-36n^2\)

\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2\)

\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để \(\left(n^2-8\right)^2+36\) là SNT thì \(n^2-6n+10=1\left(h\right)n^2+6n+10=1\)

Mà n là số tự nhiên nên \(n^2+6n+10>n^2-6n+10\)

\(\Rightarrow n^2-6n+10=1\Leftrightarrow n^2-6n+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\Leftrightarrow n=3\)

Thay n=3 vào cái ban đầu ta được \(\left(n^2-8\right)^2+36=37\) ( là số nguyên tố )

b/\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)

\(\Rightarrow a+b+c=ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)

\(\Rightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ca-1=0\)

\(\Rightarrow\left(a-ab\right)+\left(b-1\right)+\left(c-bc\right)+\left(abc-ac\right)=0\)

\(\Rightarrow-a\left(b-1\right)+\left(b-1\right)-c\left(b-1\right)+ac\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(-a+1-c+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)

<=> a-1 =0 hoặc b-1 =0 hoặc c-1=0

<=> a=1 hoặc b=1 hoặc c=1 

Vậy trong 3 số a,b,c có ít nhất 1 số bằng 1

\(A=\left(x^2-8\right)^2+36=\left(x^2-6x+10\right)\left(x^2+6x+10\right)\)

Điều kiện cần để A nguyên tố là:

\(\orbr{\begin{cases}x^2-6x+10=1\\x^2+6x+10=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-3\end{cases}}\)

Điều kiện đủ: Thế lại A ta được

\(A=37\) vậy thỏa bài toán

\(A=n^4-16n^2+64+36=n^4+20n^2+100-36n^2=\left(n^2+10\right)^2-36n^2=\left(n^2+6n+10\right)\left(n^2-6n+10\right)\)
A là số nguyên tố và \(n^2+6n+10>n^2-6n+10\) với mọi n nguyên dương
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^2-6n+10=1\\n^2+6n+10=A\end{cases}}\). Đến đây đơn giản rồi nhỉ

Bài 1:

Ta có: \(a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

Nên \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{a+b}{2}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge a+b\left(1\right)\).Ta cũng có:

\(a^2-2ac+4c^2=\frac{3}{4}\left(a-2c\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+2c\right)^2\)

Nên \(\sqrt{a^2-2ac+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\left(2\right)\), tương tự ta cũng có \(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta được

\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\)

\(\ge a+b+\frac{a+2c}{2}+\frac{b+2c}{2}=4c+\frac{a+b}{2}+\frac{4c}{2}=4c+2c+2c=8c\)

Suy ra điều phải chứng minh

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\a=2c\\b=2c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=2c\)