a, Ta có : 9 đồng dư với 1 (mod 4 ) => 9ⁿ đồng dư với 1 ( mod 4)

=> 9ⁿ+1 đồng dư với 2 (mod 4) ko chia hết cho 4 => 9ⁿ+1 ko chia hết cho 100 (vì 100 chia hết cho 4)

b, Gỉa sử n chia hết cho 3

=> n²+n+1 chia 3 dư 1.

Nếu n chia 3 dư 1

=> n² đồng dư với 1 mod 3 => n²+n+1 chia hết cho 3

Nếu n chia 3 dư 2

=> n² chia 3 dư 1 => n²+n+1 chia 3 dư 1.

Suy ra n chia 3 dư 1 để n²+n+1 chia hết cho 5

=> n²+n có tận cùng là 4 hoặc 9 mà hai số liên tiếp nhân nhau ko có tận cùng là 4 hoặc 9

=> n² + n+1 ko chia hết cho 15.

thấy sai thì góp ý nha

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

câu b

2xn +11...1 n chữ số 1 = 3n-n+11...1

                                  =3n+(11....1-n)

Ta thấy tổng các chữ số của 11...1 là n

=> 11...1 và n có cùng một số dư

=>(111...1-n) chia hết cho 3

Mà 3n chia hết cho 3

=>3n+(11...1-n) chia hết cho 3

Hay 2n +111...1 chia hết ch03

Vậy 2n+111....1 chia hết cho 3

Có mí chỗ mk không ghi là n chữ số 1 bạn ghi hộ mk nhé

Xét n=0 => 62n+1 + 5n+2  = 31chia hết 31

Xét n=1 => 62n+1 + 5n+2  = 341 chia hết 31

Giả sử mệnh đề đúng với n = k,tức là có 62k+1 + 5k + 2,ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là chứng minh 62k+3  + 5k+3

Ta có 62k+1 + 5k+2  = 36k .6+5k .25 chia hết 31

<=> 62k+3  + 5k+3 = 36k .216+5k .125

Xét hiệu : 62k+3  + 5k+3 − 62k+1  − 5k+2  = 36k .216+5k .125−36k .6−5k .25

= 36k .210+5k .100 = 36k .207+5k .93−7(36k−5k ) Có 217 chia hết 31, 93 chia hết 31và 36k−5k  chia hết 36 - 5 = 31

=> 62n+3  + 5k+3  − 62k+1 − 5k+2  chia hết 31

. Mà 62k+1  + 5k+2  chia hết 31 nên 62k+3 + 5k+3  chia hết 31

Phép quy nạp được chứng minh hoàn toàn,ta có đpcm 

:D

Ta có: \(6^2\equiv5\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow6^{2n}\equiv5^n\left(mod31\right)\)

\(6^{2n+1}\equiv6.5^n\left(mod31\right)\)

Lại có: 5\(5\equiv5\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow5^n\equiv5^n\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow5^{n+2}\equiv25.5^n\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}\equiv31.5^n\left(mod31\right)\)

\(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}⋮31\)

\(A=n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)

Vì \(n\left(n+1\right)\)là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)\)có các chữ số cuối là : 0;2;6

Do đó \(n\left(n+1\right)+1\)có các chữ số cuối là 1;3;7

Vì thế \(n\left(n+1\right)+1\)không chia hết cho 2;5 với mọi số n

Hay \(n^2+n+1\)không chia hết cho2;5 vs mọi số n

Vậy A không chia hết cho 2;5 với mọi số n 

Ta có : n²+n+1                           (dấu . là dấu nhân)

        =n.n+n.1+1

        =n.(n+1)+1

Do n.(n+1) chia hết cho2

 Dựa vào một số chia hết cho 2 và 5 có tận cùng =0 (số chẵn )

=>n.(n+1)+1 ( số lẻ ) không chia hết cho 2 và 5 với mọi n thuộc N

thanks you everybody so very much

Nếu n chẵn

=> n²-1 lẻ

=> không chia hết cho 24 (1)

Nếu n chia hết cho 3

=> n² chia hết cho 3

=> n²-1 không chia hết cho 3

=> n²-1 không chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2) 

=> đpcm