Ai giúp em với ạ

1. Ta có: \(x^2-2xy-x+y+3=0\)

<=> \(x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0\)

<=> \(\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}\)

<=> \(\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}\)

<=> \(\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11\)

Th1: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)

Th2: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)

Th3: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}\)

Th4: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)

Kết luận:...

2. \(y^2+1\ge1>0;2x^2+x+1>0\) với mọi x; y 

=> x + 5 > 0 

=>  \(y^2+1=\frac{x+5}{2x^2+x+1}\ge1\)

<=> \(x+5\ge2x^2+x+1\)

<=> \(x^2\le2\)

Vì x nguyên => x = 0 ; x = 1; x = -1 

Với x = 0 ta có: \(y^2+1=5\Leftrightarrow y=\pm2\)

Với x = 1 ta có: \(y^2+1=\frac{3}{2}\)loại vì y nguyên 

Với x = -1 ta có: \(y^2+1=2\Leftrightarrow y=\pm1\)

Vậy Phương trình có 4 nghiệm:...

Đặt  \(A=ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ac\sqrt{ac}=1.\\ \)( cho đỡ phải đánh máy nhiều )

Ta có : \(\frac{a^6}{a^3+b^3}=a^3-\frac{a^3b^3}{a^3+b^3}\ge a^3-\frac{a^3b^3}{2\sqrt{a^3b^3}}=a^3-\frac{ab\sqrt{ab}}{2}\left(1\right).\)

( do a,b> 0 nên \(a^3+b^3\ge2\sqrt{a^3b^3}\Rightarrow\frac{a^3b^3}{a^3+b^3}\le\frac{a^3b^3}{2\sqrt{a^3b^3}}\))

chứng minh tương tự ta có :

\(\frac{b^6}{b^6+c^6}\ge b^3-\frac{bc\sqrt{bc}}{2}\left(2\right).\);    \(\frac{c^6}{c^3+a^3}\ge c^3-\frac{ca\sqrt{ca}}{2}\left(3\right).\)

cộng vế với vế các bđt (1) (2), (3) ta được :

\(P\ge a^3+b^3+c^3-\frac{A}{2}\left(4\right).\)

Áp dụng BĐT Cô si ( AM - GM ) : \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\sqrt{a^3b^3}=ab\sqrt{ab}.\)( làm tương tự 2 lần nữa với a^3, b^3 , c^3 rồi cộng vế với vế ta được )

=>  \(a^3+b^3+c^3\ge ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=A\left(5\right).\)

Thay (5) vào (4) ta được :

\(P\ge A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}=\frac{1}{2}.\)

Vậy Pmin = 1/2 khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}.\)

c) Có \(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=-1+\frac{x^2+ax+b+1}{x^2+1}\); 

\(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=4-\frac{4x^2-ax-b+4}{x^2+1}\)

Để Min P = 1 và Max P = 4 thì 

\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+b+1=\left(x+c\right)^2\\4x^2-ax-b+4=\left(2x+d\right)^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\left(a-2c\right)+\left(b+1-c^2\right)=0\left(1\right)\\x\left(-a-4d\right)+\left(-b+4-d^2\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)

(1) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=2c\\b=c^2-1\end{cases}}\)(3) 

(2) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=-4d\\b=4-d^2\end{cases}}\)(4) 

Từ (3) (4) => d = 1 ; c = -2 ; b = 3 ; a = -4

Vậy \(P=\frac{-4x+3}{x^2+1}\)

ĐK \(x\ge y\)

Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{x-y}=b\left(a;b\ge0\right)\) 

HPT <=> \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4=82\\a-2b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2b+1\right)^4+b^4=82\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4+32b^3+24b^2+8b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4-17b^3+49^3-49b^2+73b^2-73b+81b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(b-1\right)\left(17b^3+49b^2+73b+81\right)=0\left(1\right)\\a=2b+1\end{cases}}\)

Giải (1) ; kết hợp điều kiện => b = 1

=> Hệ lúc đó trở thành \(\hept{\begin{cases}b=1\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}=3\\\sqrt{x-y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=9\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=10\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}}\)

Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4) 

7.  \(S=9y^2-12\left(x+4\right)y+\left(5x^2+24x+2016\right)\)

\(=9y^2-12\left(x+4\right)y+4\left(x+4\right)^2+\left(x^2+8x+16\right)+1936\)

\(=\left[3y-2\left(x+4\right)\right]^2+\left(x-4\right)^2+1936\ge1936\)

Vậy   \(S_{min}=1936\)    \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}3y-2\left(x+4\right)=0\\x-4=0\end{cases}}\)    \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=\frac{16}{3}\end{cases}}\)

8. \(x^2-5x+14-4\sqrt{x+1}=0\)       (ĐK: x > = -1).

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(x+1\right)-4\sqrt{x+1}+4+\left(x^2-6x+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)   \(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2+\left(x-3\right)^2=0\)

Với mọi x thực ta luôn có:   \(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2\ge0\)   và   \(\left(x-3\right)^2\ge0\) 

Suy ra   \(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2+\left(x-3\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra   \(\Leftrightarrow\)   \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2=0\\\left(x-3\right)^2=0\end{cases}}\)    \(\Leftrightarrow\)    x = 3 (Nhận)

con 7 tìm Min bạn ơi

7.  \(S=9y^2-12\left(x+4\right)y+\left(5x^2+24x+2016\right)\)

\(=9y^2-12\left(x+4\right)y+4\left(x+4\right)^2+\left(x^2+8x+16\right)+1936\)

\(=\left[3y-2\left(x+4\right)\right]^2+\left(x-4\right)^2+1936\ge1936\)

Vậy   \(S_{min}=1936\)    \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}3y-2\left(x+4\right)=0\\x-4=0\end{cases}}\)    \(\Leftrightarrow\)    \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=\frac{16}{3}\end{cases}}\)

Câu 8 bn tìm cách tách thành   

\(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2+\left(x-3\right)^2=0\)

đang tìm Max mà bạn Thiên AN

\(A=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+4x+4}\)

\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}\)

\(=|1-x|+|x+2|\ge|1-x+x+2|=3\)

\(x\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

Làm nốt