3ⁿ⁺⁴+3ⁿ⁺² + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺¹

=  3ⁿ.( 3⁴ + 3²) + 2ⁿ.( 2³+2)

= 3ⁿ.90 + 2ⁿ.10

= 10.( 3ⁿ.9+2ⁿ.5)

vì 10 ⋮ 5 ⇔ 10.( 3ⁿ.9 + 2ⁿ.5) ⋮ 5 ⇔ 3ⁿ⁺⁴+3ⁿ⁺²+2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹ ⋮ 5(đpcm)

ta có \(\left(2n+4\right)\left(3n+5\right)=2\left(n+2\right)\left(3n+5\right)⋮2\)

1) Đặt A = n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) 
Nếu n chia hết cho 5 ta dễ thấy đpcm 
Nếu n : 5 dư 1 => n = 5k + 1 
=> A = n.(5k + 1 - 1)(n + 1)(n^2 + 1) = n.5k.(n + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 5 
Nếu n : 5 dư 2 => n = 5k + 2 
=> A = n(n - 1)(n + 1)[(5k + 2)^2 + 1] = n(n - 1)(n + 1)(25k^2 + 20k + 5) 
= 5n(n - 1)(n + 1)(5k^2 + 4k + 1) chia hết cho 5 
Nếu n : 5 dư 3 => n = 5k + 3 
=>A = n(n - 1)(n + 1)(25k^2 + 30k + 10) = 5n(n - 1)(n + 1)(5k^2 + 6k + 2) chia hết cho 5 
Nếu n : 5 dư 4 => n = 5k + 4 
=> A = n(n - 1)(5k + 5)(n^2 + 1) = 5n(n - 1)(k + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 5 
Vậy trong tất cả trường hợp n^5 - n luôn chia hết cho 6 

2) Đặt B = n^3 - 13n = n^3 - n -12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n 
Ta có : Trong 3 số nguyên liên tiếp tồn tại ít nhất 1 số chẵn và tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 nên tích của 3 số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 
=> n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6 mà 12n chia hết cho 6 
=> n^3 - n chia hết cho 6 

3) n^3 + 23n = n^3 - n + 24n = n(n - 1)(n + 1) + 24n 
Tương tự câu 2 : n(n - 1)(n + 1) và 24n chia hết cho 6 
=> n^3 + 23n chia hết cho 6 

4)Đặt A = n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)[2(n - 1) + 3] 
= 2n(n + 1)(n - 1) + 3n(n + 1) 
n(n + 1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 
2n(n + 1)(n - 1) chia hết cho 2 
=> A chia hết cho 2 
n(n + 1)(n - 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 
3n(n + 1) chia hết cho 3 
=> A chia hết cho 3 
Mà (2 ; 3) = 1 (nguyên tố cùng nhau) 
=> A chia hết cho 6 

5) Đặt A = 3n^4 - 14n^3 + 21n^2 - 10n 
Chứng minh bằng quy nạp 
Với n =1 => A = 0 chia hết cho 24 
Giả sử A chia hết 24 đúng với n = k 
Nghĩa là :A(k) = 3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k chia hết cho 24 
Ta phải chứng minh : 
A chia hết cho 24 đúng với n = k + 1 
Nghĩa là : 
A(k + 1) = 3(k + 1)^4 - 14(k + 1)^3 + 21(k + 1)^2 - 10(k + 1) 
Khai triển ta được : 
A = (3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k) + (12k^3 - 24k^2 + 12k) 
Ta phải chứng minh : 12k^3 - 24k^2 + 12k chia hết 24 
12k^3 - 24k^2 + 12k = 12k(k^2 - 2k + 1) 
= 12k(k - 1)^2 = 12k(k - 1)(k - 1) 
12 chia hết 12 
k(k - 1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 
=> 12k^3 - 24k^2 - 2k + 1 chia hết cho 24 
Mà 3k^4 - 14k^3 + 21k^2 - 10k chia hết cho 24 (giả thiết quy nạp) 
=> A(k + 1) chia hết 24 
Theo nguyên lý quy nạp => A chia hết cho 24 (đpcm) 

6) n = 2k + 1 với k thuộc Z 
A = n^2 + 4n + 3 = (2k + 1)^2 + 4(2k + 1) + 3 
= 4k^2 + 12k + 8 
= 4(k^2 + 3k + 2) 
= 4(k + 2k + k + 2) 
= 4(k + 1)(k + 2) 
4 chia hết cho 4 
(k +1)(k + 2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 
=> n^2 + 4n + 3 chia hết cho 4.2 = 8 với n lẻ 

7) n = 2k + 1 
Đặt A = n^3 + 3n^2 - n - 3 
= (2k + 1)^3 + 3(2k + 1)^2 - (2k + 1) - 3 
= 8k^3 + 24k^2 + 16k 
= 8k(k^2 + 3k + 2) 
= 8k(k^2 + k + 2k + 2) 
= 8k(k + 1)(k + 2) 
8 chia hết cho 8 
k(k + 1)(k + 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 => chia hết cho 6 
=> A chia hết cho 8.6 = 48 với n lẻ

Bài 5: 

b: Ta có: \(n+6⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{2;4\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;2\right\}\)

c: Ta có: \(3n+1⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{-1;1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;3;9\right\}\)

a,A=(n-1).(n+1)-n^2+3n-5 

= n^2 - 1 - n^2 + 3n - 5

= 3n - 6

= 3(n - 2) chia hết cho 3

b,A=(2n-1).(n+1)-n(2n-4)+21 

= 2n^2 + n - 1 - 2n^2 + 4n + 21

= 5n + 20 = 5(n + 4) chia hết cho5

A = ( n - 1 )( n + 1 ) - n² + 3n - 5

= n² - 1 - n² + 3n - 5

= 3n - 6 = 3( n - 2 ) chia hết cho 3 ( đpcm )

A = ( 2n - 1 )( n + 1 ) - n( 2n - 3n ) + 21

= 2n² + n - 1 - n( -n ) + 21

= 2n² + n + 20 + n²

= 3n² + n + 20 ( cái này chưa chắc được :)) )

5³ⁿ.5²+2²ⁿ.2³=125ⁿ.25+4ⁿ.8

vì 125ⁿ đồng dư với 4ⁿ

^=> dãy trên đồng dư với 4ⁿ  . 25 + 4ⁿ.8=4ⁿ.(8+25)=4ⁿ.33 

vì 33 chia hết cho 11 =>đpcm

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\)

    \(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{59}+2^{60}\right)\)

     \(=2.\left(1+2\right)+2^3.\left(1+2\right)+....+2^{59}.\left(1+2\right)\)

      \(=3.\left(2+2^3+...+2^{59}\right)⋮3\)

Vậy....

\(B=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^7+5^8\right)\)

    \(=\left(5+5^2\right)+5^2.\left(5+5^2\right)+...+5^6.\left(5+5^2\right)\)

     \(=30.\left(1+5^2+...+5^6\right)⋮30\)

Bài 1 bạn kia giải rồi 

2. Gọi d = ƯCLN(2n+5;3n+7) (\(d\inℕ^∗\) )

=> 2n+5 chia hết cho d ; 3n+7 chia hết cho d

=> 3.(2n+5) chia hết cho d ; 2.(3n+7) chia hết cho d

=> 6n+15 chia hết cho d ; 6n+14 chia hết cho d

=> (6n+15)-(6n+14) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* nên d = 1

=> ƯCLN(2n+5;3n+7) = 1

Vậy 2n+5 và 3n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau

3. Nếu x+2y chia hết cho 5

=> 3.(x+2y) chia hết cho 5

=> 3x+6y chia hết cho 5

Mà 10y chia hết cho 5

=> (3x+6y)-10y chia hết cho 5

=> 3x - 4y chia hết cho 5

=> ĐPCM

https://olm.vn/thanhvien/chaukhanhho giải đúng phần đó rồi

Bạn không nên gửi lại câu hỏi quá nhiều lần nha.