Cho a+b+c=0. CMR:
a^4+b^4+c^4 = mỗi biểu thức dưới đây:
a, 2.(a.b+b.c+c.a)^2
c, (a^2 + b^2 + c^2)/2
Giải bài đầy đủ dùm e ạ
Những câu hỏi liên quan
Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn a.b / a+b = b.c/b+c=c.a/c+a.
Tính giá trị của biểu thức M=a.b+b.c+c.a/a2+b2+c2
Rút gọn biểu thức:
(a+b+c).(a+b+c)-2(a.b+b.c+c.a)
(a+b+c).(a+b+c)-2(a.b+b.c+c.a)=a^2+ab+ca+ab+b^2+bc+ca+bc+c^2-2ab-2bc-2ca=(a^2+b^2+c^2)+(ab+ab-2ab)+(ca+ca-2ca)+(bc+bc-2bc)=a^2+b^2+c^2 .
Mik viết thế này mong bạn thông cảm .
Ta có: \(\left(a+b+c\right).\left(a+b+c\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2\)
Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn:\(\dfrac{a.b+a.c}{2}=\dfrac{b.c+b.a}{3}=\dfrac{c.a+c.b}{4}\)CM \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{15}\)
(Chuyên Toán HN 2016) Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn a^3 + b^3 + c^3 = 3abc và abc khác 0. Tính giá trị của biểu thức: P = a.b^2/(a^2 + b^2 - c^2) + b.c^2/(b^2 + c^2 - a^2) + c.a^2/(c^2 + a^2 - b^2)
từ a^3 + b^3 + c^3 =3abc => a+b+c = 0
=> a+b= -c <=> c^2 = (a+b)^2
tương tự với -b và -a
=> P = ab^2/a^2+b^2-a^2-2ab-b^2 + bc^2/b^2+c^2-b^2-2bc-c^2 + ca^2/c^2 + a^2 - c^2-2ac-a^2
= -a/2 - b/2 - c/2 = -1/2(a+b+c)=0
Đúng 1
Bình luận (0)
Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau : ( Trình bày rõ => like )
a, ( a + b + c ) . ( a + b + c ) - 2 . ( a.b +b.c +c.a )
b, ( a + b ) . ( b + c ) - b . ( a + c + b )
cho a:b:c=3:4:5 và a b c=24. tính m=a.b+b.c+c.a
giải hộ mik bài này với ạ
Từ bài toán, ta có:
\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}\) và \(a+b+c=24\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}=\dfrac{a+b+c}{3+4+5}=\dfrac{24}{12}=2\)
Suy ra:
\(a=2\cdot3=6\)
\(b=2\cdot4=8\)
\(c=3\cdot5=15\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Phần a b c = 24 là ''+'' hay ''-'' hả bạn?
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau : ( Trình bày rõ => like )
a, ( a + b + c ) . ( a + b + c ) - 2 . ( a.b +b.c +c.a )
b, ( a + b ) . ( b + c ) - b . ( a + c + b )
Cho a,b,c theo a2+b2+c2 khác 0
a.b/a+b = b.c/b+c = c.a/c+a
Tính: P = a.b2+b.c2+c.a2/a3+b3+c3
Các bạn giúp mình với nha:
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.
CMR\(\frac{a.b}{a^2+b^2}+\frac{b.c}{b^2+c^2}+\frac{c.a}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{15}{4}\)
dự đoán của Thần thánh
\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)
\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)
tương tự với các BDT còn lại suy ra
\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)
tương tự với b^2+c^2 ta được
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
" thay 1/3 vào ta được
\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)
mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
thay a+b+c=1 vào ta được
\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "
bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)
\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)
mà a+b+C=1 suy ra
\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"
từ 1 và 2 suy ra
\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
" đúng với dự đoán của thần thánh "
Đúng 0
Bình luận (0)