1) ĐK \(\hept{\begin{cases}x\ne y\\y\ge-1\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x-y}=a\left(a\ne0\right)\\\sqrt{y+1}=b\left(b\ge0\right)\end{cases}}\)hệ phương trình đã cho trở thành

\(\hept{\begin{cases}2a+b=4\\a-3b=-5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a+b=4\\2a-6b=-10\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}7b=14\\2a+b=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}\left(tm\right)}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x-y}=1\\\sqrt{y+1}=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=1\\y+1=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}}\left(tm\right)\)

Vậy ... 

ĐKXĐ: x ≠ y ; y ≥ − 1 Đặt 1 x − y = a ; √ y + 1 = b (ĐK: a ≠ 0 ; b ≥ 0 ) Khi đó hệ phương trình trở thành { 2 a + b = 4 a − 3 b = − 5 ⇔ { 6 a + 3 b = 12 a − 3 b = − 5 ⇔ { 7 a = 7 b = 4 − 2 a ⇔ { a = 1 ( tm ) b = 2 ( tm ) Với ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ a = 1 b = 2 ⇒ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 x − y = 1 √ y + 1 = 2 ⇒ { x − y = 1 y + 1 = 4 ⇔ { x − 3 = 1 y = 3 ⇔ { x = 4 ( tm ) y = 3 ( tm ) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm { x = 4 y = 3 . 2) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng ( d ) và Parabol ( P ) là: x 2 = 2 ( m − 1 ) x − m 2 + 2 m ⇔ x 2 − 2 ( m − 1 ) x + m 2 − 2 m = 0 (1) a) Với m = 2 phương trình (1) trở thành: x 2 − 2 ( 2 − 1 ) x + 2 2 − 2.2 = 0 ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔ x ( x − 2 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x = 2 - Với x = 0 ⇒ y = 0 2 = 0 ⇒ A ( 0 ; 0 ) - Với x = 2 ⇒ y = 2 2 = 4 ⇒ B ( 2 ; 4 ) Vậy khi m = 2 thì ( P ) cắt ( d ) tại hai điểm phân biệt A ( 0 ; 0 ) ; B ( 2 ; 4 ) . b) Ta có: Δ ′ = b ′ 2 − a c = [ − ( m − 1 ) ] 2 − ( m 2 − 2 m ) = m 2 − 2 m + 1 − m 2 + 2 m = 1 > 0 Do Δ ′ > 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 với mọi m . ⇒ Đường thẳng ( d ) luôn cắt Parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1 ; x 2 với mọi m . Khi đó theo hệ thức Viet, ta có: { x 1 + x 2 = 2 m − 2 x 1 x 2 = m 2 − 2 m Để đường thẳng ( d ) cắt Parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ đối nhau ⇔ x 1 + x 2 = 0 ⇔ 2 m − 2 = 0 ⇔ m = 1 ( tm ) Vậy m = 1 thì đường thẳng ( d ) luôn cắt Parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ đối nhau.

ĐKXĐ: x ≠ y ; y ≥ − 1 Đặt 1 x − y = a ; √ y + 1 = b (ĐK: a ≠ 0 ; b ≥ 0 ) Khi đó hệ phương trình trở thành { 2 a + b = 4 a − 3 b = − 5 ⇔ { 6 a + 3 b = 12 a − 3 b = − 5 ⇔ { 7 a = 7 b = 4 − 2 a ⇔ { a = 1 ( tm ) b = 2 ( tm ) Với ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ a = 1 b = 2 ⇒ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 x − y = 1 √ y + 1 = 2 ⇒ { x − y = 1 y + 1 = 4 ⇔ { x − 3 = 1 y = 3 ⇔ { x = 4 ( tm ) y = 3 ( tm ) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm { x = 4 y = 3 . 2) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng ( d ) và Parabol ( P ) là: x 2 = 2 ( m − 1 ) x − m 2 + 2 m ⇔ x 2 − 2 ( m − 1 ) x + m 2 − 2 m = 0 (1) a) Với m = 2 phương trình (1) trở thành: x 2 − 2 ( 2 − 1 ) x + 2 2 − 2.2 = 0 ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔ x ( x − 2 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x = 2 - Với x = 0 ⇒ y = 0 2 = 0 ⇒ A ( 0 ; 0 ) - Với x = 2 ⇒ y = 2 2 = 4 ⇒ B ( 2 ; 4 ) Vậy khi m = 2 thì ( P ) cắt ( d ) tại hai điểm phân biệt A ( 0 ; 0 ) ; B ( 2 ; 4 ) . b) Ta có: Δ ′ = b ′ 2 − a c = [ − ( m − 1 ) ] 2 − ( m 2 − 2 m ) = m 2 − 2 m + 1 − m 2 + 2 m = 1 > 0 Do Δ ′ > 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 với mọi m . ⇒ Đường thẳng ( d ) luôn cắt Parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1 ; x 2 với mọi m . Khi đó theo hệ thức Viet, ta có: { x 1 + x 2 = 2 m − 2 x 1 x 2 = m 2 − 2 m Để đường thẳng ( d ) cắt Parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ đối nhau ⇔ x 1 + x 2 = 0 ⇔ 2 m − 2 = 0 ⇔ m = 1 ( tm ) Vậy m = 1 thì đường thẳng ( d ) luôn cắt Parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ đối nhau.

\(2x^2+3x-5=0\)

\(< =>2x^2-2x+5x-5=0\)

\(< =>2x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)=0\)

\(< =>\left(x-1\right)\left(2x+5\right)=0\)

\(< =>\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-\frac{5}{2}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x+2y=1\\-3x+4y=-18\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}-3x-6y=-3\\-3x-6y+10y=-18\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}x+2y=1\\10y=-18+3=-15\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}x+2y=1\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}x-3=1\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}x=4\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}}}}\)

Bài 1 : Ta có : \(\Delta=9-4\left(-5\right).2=9+40=49>0\)

\(x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac{11}{4};x_2=\frac{-3+7}{4}=1\)

Bài 2 : 

\(\hept{\begin{cases}x+2y=1\\-3x+4y=-18\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+4y=2\\-3x+4y=-18\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x=20\\x+2y=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}}}\)

Vậy hệ pt có một nghiệm ( x ; y ) = ( 4 ; -3/2 ) 

Câu 1: 

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\y\ne-2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2x-2+2}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{x-1}-\dfrac{4}{y+2}=8\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{y+2}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-7}{y+2}=-1\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{y+2}=9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+2=7\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{7}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{60}{7}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=\dfrac{7}{10}\\y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{17}{10}\left(nhận\right)\\y=5\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{17}{10};5\right)\)

Câu 2: 

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(x^2=3x+m^2-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x-m^2+1=0\)

\(\Delta=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m^2+1\right)\)

\(=9-4\left(-m^2+1\right)=9+4m^2-4=4m^2+5>0\forall m\)

Vậy: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m

1/

\(\hept{\begin{cases}3x+4y=6\left(1\right)\\2x-y=-7\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow8x-4y=-28\left(3\right)\)

Cộng 2 vế của (1) với (3) \(\Rightarrow11x=-22\Rightarrow x=-2\) Thay vào (2) \(\Rightarrow2.\left(-2\right)-y=-7\Rightarrow y=3\)

2/

a/ d cắt p tại 2 điểm phân biệt khi \(x^2=5x+m\Leftrightarrow x^2-5x-m=0\) có 2 nghiệm phân biệt

Điều kiện \(\Delta=25+4m>0\Leftrightarrow m>-\frac{25}{4}\)

b/ Khi m=-4

\(x^2-5x+4=0\Rightarrow x_1=1;x_2=4\)

Khi m=-4 d cắt p tại 2 điểm phân biệt A(1;0) và B(4;0)

đk: \(y\ge1\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}2\left(x+2\right)-\sqrt{y-1}=6\\5\left(x+2\right)-2\sqrt{y-1}=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4\left(x+2\right)-2\sqrt{y-1}=12\\5\left(x+2\right)-2\sqrt{y-1}=16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2=4\\2\left(x+2\right)-\sqrt{y-1}=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\\sqrt{y-1}=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y-1=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-\frac{1}{2y-1}=0\\2\sqrt{x-1}+\frac{1}{2y-1}=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\sqrt{x-1}-\frac{2}{2y-1}=0\\2\sqrt{x-1}+\frac{1}{2y-1}=3\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2) ta được : \(-\frac{2}{2y-1}-\frac{1}{2y-1}=-3\Leftrightarrow\frac{-3}{2y-1}=-3\)

\(\Rightarrow-6y+3=-3\Leftrightarrow y=1\)

Thay vào (2) ra được : \(2\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow x=1\)( tmđk \(x\ge1\))

Vậy hệ phương trình có một nghiệm ( x ; y ) = ( 1 ; 1 ) 

Đặt \(\sqrt{x-1}\)=A; \(\dfrac{1}{2y-1}\)=B(A>0;B khác 0) ta được:

   A-B=0                 ⇔ B=1

   2A+B=3                   A=B=1(cả 2 thỏa mãn)

Trở lại phép đặt:  \(\sqrt{x-1}\)=1        ⇔ x=2

                             \(\dfrac{1}{2y-1}\)=1             y=1

( x;y )=(2;1)

Tham khảo:

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y < 1\)

+ Vẽ đường thẳng d: x+y=1 (nét đứt) đi qua (0;1) và (1;0)

+ Vì 0+0=0 < 1 nên điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm của bpt 

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + y < 1\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \ge 3\)

+ Vẽ đường thẳng d’: \(2x - y = 3\) đi qua (1;-1) và (0;-3)

+ Vì 2.0-0=0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \ge 3\) là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa gốc tọa độ O.

Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không  đường thẳng d’).

em gửi ảnh dưới ạ

 

Lươn vậy bạn

               Bài làm :

Điều kiện xác định : y-1 ≥ 0 => y≥1

Đặt :

\(\hept{\begin{cases}x+2=m\\\sqrt{y-1}=n\end{cases}}\)

Khi đó ; hệ phương trình trở thành :

\(\hept{\begin{cases}2m-n=6\\5m-2n=16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4m-2n=12\\5m-2n=16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4m-2n-5m+2n=12-16\\2m-n=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-m=-4\\2m-n=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=4\\n=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=m-2=2\\y=n^2+1=5\end{cases}}\)

Vậy : x=2 ; y=5