Mình đã làm được rồi

x+1/y = 1, ta có: 
+ x=1-1/y (1) 
+ (xy+1)/y=1 => xy+1=y (2) 
y+1/x >=4 
<=> (xy+1)/x >=4 
(1), (2) => y/ (y-1) /y >=4 
<=> y^2/ (y-1) >=4 
<=> y^2 >= 4y -4 
<=> y^2 -4y +4 >=0 
<=> (y-2)^2 >=0 (đúng)

Bạn áp dụng bất đẳng thức sau để giải : 
1/x + 1/y >= 4/(x+y) (cái này thì dẽ chứng mình thôi, dùng cô si cho 2 số đó, tiếp tục dùng cô si dưới mẫu là ra) (*) 

Áp dụng kết quả đó ta có 
1/ (2x +y+z) = 1/(x+ y+z+x) <= 1/4 *[ 1/(x+y) + 1/(y+z)] 
rồ tiếp tục áp dụng kết quả (*) ta lại có 
1/4 *[1/(x+y) + 1/(y+z)] <= 1/16 *( 1/x + 1/y + 1/z + 1/x) 
Tương tự ta có 1/(2y + x +z) <= 1/16 *(1/x+1/y +1/z + 1/y) 
Cái cuối cùng cũng tương tự như vậy 
Cộng lại ba bdt trên ta sẽ có được điều cần chứng minh 

a) Giả sử `(x+1)^2 >= 4x` là đúng.

Có: `(x+1)^2 >=4x <=> x^2+2x+1>=4x`

`<=>x^2+1>=2x`

`<=>x^2-2x+1>=0`

`<=> (x-1)^2>=0 forall x`.

Vậy điều giả sử là đúng.

b) `x^2+y^2+2 >=2(x+y)`

`<=> (x^2-2x+1)+(y^2-2y+1) >=0`

`<=>(x-1)^2+(y-1)^2>=0 forall x,y`

c) `(1/x+1/y)(x+y)>=4`

`<=> (x+y)/(xy) (x+y) >=4`

`<=> (x+y)^2 >= 4xy`

`<=> x^2+2xy+y^2>=4xy`

`<=> (x-y)^2>=0 forall x,y > 0`

d) `x/y+y/x>=2`

`<=> (x^2+y^2)/(xy) >=2`

`<=> x^2+y^2 >=2xy`

`<=> (x-y)^2>=0 \forall x,y>0`.

a) Xét hiệu \(\left(x+1\right)^2-4x\) = \(x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\ge0\)

=> \(\left(x+1\right)^2-\text{4x}\) \(\ge\) 0

=> \(\left(x+1\right)^2\ge\text{4x}\) (điều phải chứng minh)

b) xét hiệu \(x^2+y^2+2-2\left(x+y\right)\) = \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)

=> \(x^2+y^2+2-2\left(x+y\right)\ge0\)

=> \(x^2+y^2+2\ge2\left(x+y\right)\) (điều phải chứng minh)

c) Xét hiệu \(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(x+y\right)-4\) = \((\dfrac{x+y}{xy})\left(x+y\right)-4=\dfrac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\) \(\ge0\)​​​(vì x>0,y>0)

=>\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(x+y\right)\ge4\) (điều phải chứng minh)

d) Áp dụng bất đẳng thức Cau-Chy cho các số x>0;y>0 ta có

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2.\left(\dfrac{xy}{yx}\right)=2\)

=> \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\) (điều phải chứng minh)

Mình làm hơi tắt mong bạn thông cảm nhé

Chúc bạn học tốt

PP : biến đổi tương đương

Bài làm

Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+x\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)xy}\)

Vì x , y >0 , ta suy ra (x+y)² \(\ge\)4xy

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

Hay (x-y)² \(\ge\)0 ( điều này luôn đúng )

Vậy..........

Còn cách dùng BĐT AM-GM nữa:

Vì x^2\(\ge\)0 và y²\(\ge\)0

=> Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

x² + y² \(\ge\)\(2\sqrt{x^2\cdot y^2}\)=\(2xy\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\ge2xy+2xy\)=\(4xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Chia cả 2 vế của BĐT cho \(xy\left(x+y\right)\) ta có:

\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4xy}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)(đpcm)

đpcm\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(do x,y>0)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\)

Do \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\)nên \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\forall x,y>0\)

+)Ta có : x⁴ + y⁴ < x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴

Mà x > y > 1 ⟹ x - y > 0 

⟹ ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) ( * )

+)Ta có : ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) - y ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x⁵ + x⁴y + x³y² + x²y³ + xy⁴ - x⁴y -  x³y² - x²y³ -  xy⁴ - y⁵

            = x⁵ - y⁵

⟹ ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) = x⁵ - y⁵ ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

⟹  ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

Mà   x⁵ - y⁵ < x⁵ + y⁵ 

⟹ ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

⟹ ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < x - y 

⟹  x⁴ + y⁴ < 1 ( đpcm ) 

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1^2}=4\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

\(\text{Xét hiệu:}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{y^2+xy}{x^2y+xy^2}+\frac{x^2+xy}{x^2y+xy^2}-\frac{4xy}{x^2y+xy^2}\)

\(=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2y+xy^2}=\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\)

\(\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y và }x>0;y>0\)

\(\text{nên: }\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\ge0\text{ với mọi x;y hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}\)

\(\text{Xét hiệu:}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{xy+y^2}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x^2+xy}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy.\left(x+y\right)}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy.\left(x+y\right)}\)

\(\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y };x>0;y>0\)

\(\text{Nên }\frac{\left(x-y\right)^2}{xy.\left(x+y\right)}\ge0\text{ với mọi x;y}\)

\(\text{hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y }\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}\)

\(\text{Dấu "=" xảy ra khi x=y}\)