2(x+y) = 5(y+z) = 3(z+x) 
<=> (x+y)/(1/2) = (y+z)/(1/5) = (z+x)/(1/3) = (x+y-z-x)/(1/2-1/3) = (z+x-y-z)/(1/3-1/5) 

=> (y-z)/(1/2-1/3) = (x-y)/(1/3-1/5) => (y-z)/(1/6) = (x-y)/(2/15) 

=> 6(y-z) = 15(x-y)/2 <=> 2(y-z) = 5(x-y)/2 <=> (y-z)/5 = (x-y)/4 đpcm

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(x+y+z=\frac{x}{y+z-2}=\frac{y}{z+x-3}=\frac{z}{x+y+5}=\frac{x+y+z}{\left(y+z-2\right)+\left(z+x-3\right)+\left(x+y+5\right)}=\frac{x+y+z}{2.\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)

=> x + y +z = 1/2  => y + z = 1/2 - x

\(\frac{x}{y+z-2}=\frac{1}{2}\Rightarrow y+z-2=2x\) => \(\frac{1}{2}-x-2=2x\) => \(-\frac{3}{2}=3x\Rightarrow-\frac{1}{2}=x\)

tương tự, \(\frac{y}{z+x-3}=\frac{1}{2}\Rightarrow2y=z+x-3\) => \(2y=\frac{1}{2}-y-3\) => 3y = -5/2 => y = -5/6

z = 1/2 - (x+y) = \(\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}-\frac{5}{6}\right)=\frac{1}{2}-\left(-\frac{8}{6}\right)=\frac{1}{2}+\frac{8}{6}=\frac{11}{6}\)

uk           

Ta co:\(\frac{x}{x+y}\)<1\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{x+y}\)<\(\frac{x+y}{x+y+z}\)(1)

            \(\frac{y}{y+z}\)<1\(\Rightarrow\)\(\frac{y}{y+z}\)<\(\frac{y+x}{y+z+x}\)(2)

           \(\frac{z}{z+x}\)<1\(\Rightarrow\)\(\frac{z}{z+x}\)<\(\frac{z+y}{z+x+y}\)(3)

Tu(1)(2)(3)\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{x+y}\)+\(\frac{y}{y+z}\)+\(\frac{z}{z+x}\)< \(\frac{x+z}{x+y+z}\)+ \(\frac{y+x}{y+z+x}\) + \(\frac{z+y}{z+x+y}\)

\(\Rightarrow\)A <\(\frac{2x+2y+2z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\)A < \(\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\)A< 2

                     Bạn định kiểm tra chỉ số  thông minh IQ người khác hà mà sao biết bài toán rồi vẫn hỏi?

Ta có: 2.(x + y) = 5.(y + z) = 3.(x + z)

\(\Rightarrow\frac{2.\left(x+y\right)}{30}=\frac{5.\left(y+z\right)}{30}=\frac{3.\left(x+z\right)}{30}\)

\(\Rightarrow\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{x+z}{10}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{x+z}{10}=\frac{\left(x+z\right)-\left(y+z\right)}{10-6}=\frac{\left(x+y\right)-\left(x+z\right)}{15-10}\)

                             \(=\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}\left(đpcm\right)\)

Vì 5 (y + z) = 3 (z + x) \(\Rightarrow\) \(\frac{z+x}{5}=\frac{y+z}{3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{z+x}{5}=\frac{y+z}{3}=\frac{z+x-y-z}{5-3}=\frac{x-y}{2}\)

Do đó: \(\frac{z+x}{5}=\frac{x-y}{2}\Rightarrow\frac{z+x}{10}=\frac{x-y}{4}\left(1\right)\)

Ta lại có: 2 (x + y) = 3 (z + x)

\(\Rightarrow\) \(\frac{z+x}{2}=\frac{x+y}{3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{z+x}{2}=\frac{x+y}{3}=\frac{z+x-x-y}{2-3}=y-x\)

Do đó: \(\frac{z+x}{2}=y-z\Rightarrow\frac{z+x}{10}=\frac{y-z}{5}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}\) (đpcm)