7¹+7²+7³+...+7²⁰¹⁶

=(7¹+7²+7³+7⁴)+(7⁵+7⁶+7⁷+7⁸)+...+(7²⁰¹³+7²⁰¹⁴+7²⁰¹⁵+7²⁰¹⁶)

=7.400+7⁵.400+...+7²⁰¹³.400

=400.(7+7⁵+...+7²⁰¹³)

vì 400\(⋮\)cho 20 nên 400.(7+7⁵+...+7²⁰¹³)\(⋮\)20

\(\Rightarrow\)7¹+7²+7³+...+7²⁰¹⁶\(⋮\)20

Cách làm như sau:

-Chứng minh C chia hết cho 5 bằng cách nhóm 2 số vào một cặp

-Chứng minh C chia hết cho 21 bằng cách nhóm 3 số vào một cặp

Mà 21 và 5 nguyên tố cùng nhau =>C chia hết cho 21.5 => C chia hết cho 105(đpcm)

Ta có : 

\(C=4^1+4^2+4^3+4^4+...+4^{2016}\)

\(C=\left(4^1+4^2\right)+\left(4^2+4^3\right)+...+\left(4^{2015}+4^{2016}\right)\)

\(C=4\left(1+4\right)+4^2\left(1+4\right)+...+4^{2015}\left(1+4\right)\)

\(C=4.5+4^2.5+...+4^{2015}.5\)

\(C=5\left(4+4^2+...+4^{2015}\right)⋮5\) \(\left(1\right)\)

Lại có : 

\(C=4^1+4^2+4^3+4^4+...+4^{2016}\)

\(C=\left(4^1+4^2+4^3\right)+\left(4^4+4^5+4^6\right)+...+\left(4^{2014}+4^{2015}+4^{2016}\right)\)

\(C=4\left(1+4+16\right)+4^4\left(1+4+16\right)+...+4^{2014}\left(1+4+16\right)\)

\(C=4.21+4^4.21+...+4^{2014}.21\)

\(C=21\left(4+4^4+...+4^{2014}\right)⋮21\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \(C⋮5\) và \(C⋮21\)

\(\Rightarrow\)\(C⋮5.21=105\)

\(\Rightarrow\)\(C⋮105\)

Vậy \(C⋮105\)

Chúc bạn học tốt ~ 

\(A=1+3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2015}\)

\(=\left(1+3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6+3^7\right)+...+\left(3^{2012}+3^{2013}+3^{2014}+3^{2015}\right)\)

\(=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{2012}\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(=\left(1+3+3^2+3^3\right)\left(1+3^4+...+3^{2012}\right)\)

\(=40\left(1+3^4+...+3^{2012}\right)\)\(⋮\)\(5\)

\(B=2+2^2+2^3+...+2^{2016}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+...+\left(2^{2013}+2^{2014}+2^{2015}+2^{2016}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+..+2^{2013}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(=\left(1+2+2^2+2^3\right)\left(2+2^5+...+2^{2013}\right)\)

\(=15\left(2+2^5+...+2^{2013}\right)\)\(⋮\)\(15\)

sử dụng đồng dư thức hoặc hằng đẳng thức

A = 3¹ + 3² +3³ + 3⁴ +.....+3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶

A = (3¹ + 3²) +(3³ + 3⁴) +.....+ (3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶)

A = 3(1+3) + 3²(1+3) + .....+ 3²⁰¹⁵(1+3)

A = 3.4 +3².4 +....... + 3²⁰¹⁵.4

A = 4(3 +3² +....+ 3²⁰¹⁵) chia hết cho 4

===================================================

A =3¹ + 3² +3³ + 3⁴ + 3⁵ +3⁶ +.....+3²⁰¹⁴ + 3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶

A = (3¹ + 3² +3³ ) +(3⁴ + 3⁵ +3⁶) +.....+ (3²⁰¹⁴ + 3²⁰¹⁵+ 3²⁰¹⁶)

A = 3(1+3+3²) + 3⁴(1+3+3²) + .....+ 3²⁰¹⁴(1+3+3²)

A = 3.13 +3⁴.13 +....... + 3²⁰¹⁴.13

A = 13.(3 +3⁴ +....+ 3²⁰¹⁴) chia hết cho 13

.................

A=3+3²+.........+3²⁰¹⁶

A=3.(1+3+9+27)+.....+3²⁰¹³.(1+3+9+27)

A=3.40+.....+3²⁰¹³.40

A=40.(3+...+3²⁰¹³) 

=> A\(⋮40\)

=> ĐPCM .