Ta có:

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

Do \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (n\(\in Z\))

nên \(A⋮2.3=6\) (1)Do (2,3)=1

Ta cũng có:

\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Do \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow A⋮5\) (2)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow A⋮6.5=30\) Do (6,5)=1

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=n\left(n^2+1\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n^2+5-4\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)(tích 3 số liên tiếp)

\(=n\left(n^2-4\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\left(đpcm\right)\)(tích 5 số liên tiếp và 1 tích có thừa số 5)

\(\Rightarrow A⋮30\)

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

Ta có :

\(n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\Rightarrow A⋮6\)

Nếu \(n⋮5\Rightarrow A⋮5\)

Nếu \(n⋮̸5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2=5k+1\\n^2=5k-1\end{matrix}\right.\)

Nếu \(n^2=5k+1\Rightarrow n^2-1=5k⋮5\Rightarrow A⋮5\)

Nếu \(n^2=5k-1\Rightarrow n^2+1=5k⋮5\Rightarrow A⋮5\)

(6;5)=1 \(\Rightarrow A⋮30\)

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

               Bài làm :

\(a\text{)}\left(n^3-n\right)=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp ⋮ 6 nên : n³ - n ⋮ 6

=> Điều phải chứng minh

\(b\text{)}n^5-m=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì :

=> (n⁵-n) ⋮5

=> Điều phải chứng minh

 \(\text{c)}n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)=n\text{[}n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\text{]}=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\text{Vì : }n-2;n-1;n;n+1;n+2\text{là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3,5,8}\)

Mà 3,5,8 nguyên tố cùng nhau nên :

\(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3.5.8=120\) \(\)

=> Điều phải chứng minh

a) n³ - n = n( n² - 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )

Ta có n( n - 1 ) là hai số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)

n( n - 1 )( n + 1 ) là ba số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) => n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 6 hay n³ - n chia hết cho 6 ( đpcm ) 

b) n⁵ - n = n( n⁴ - 1 ) = n( n² - 1 )( n² + 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n² + 1 )

= n( n - 1 )( n + 1 )[ ( n² - 4 ) + 5 ]

= n( n - 1 )( n + 1 )( n² - 4 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )

= n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (1)

5n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

c) n⁵ - 5n³ + 4n = n( n⁴ - 5n² + 4 )

Xét n⁴ - 5n² + 4 (*)

Đặt t = n² 

(*) <=> t² - 5t + 4 = t² - t - 4t + 4 = t( t - 1 ) - 4( t - 1 ) = ( t - 1 )( t - 4 ) = ( n² - 1 )( n² - 4 )

=> n( n⁴ - 5n² + 4 ) = n( n² - 1 )( n² - 4 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )

n( n - 1 ) là tích của hai số nguyên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)

n( n - 1 )( n + 1 ) là tích của 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 ) là tích của 4 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 4 (3)

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) => đpcm

A=n^5-n-5n

n^5-n chia hết cho 5 do 5 là số nguyên tố

-5n chia hết cho 5

=>A chia hết cho 5

a)\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=n\left(2n-3\right)-n\left(2n+2\right)=n\left(2n-3-2n-2\right)\)

\(=n\left(-5\right)=-5n\) chia hết cho 5 với n thuộc Z

b)\(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)=\left(n^2+3n-4\right)-\left(n^2-3n-4\right)\)

\(=n^2+3n-4-n^2+3n+4=6n\) chia hết cho 6 với n thuộc Z

a,60 chia hết cho 15 => 60n chia hết cho 15 ; 45 chia hết cho 15 => 60n+45 chia hết cho 15 (theo tính chất 1)

   60n chia hết cho 30 ; 45 không chia hết cho 30 => 60n+45 không chia hết cho 30 (theo tính chất 2)

b,Giả sử có số a thuộc N thoả mãn cả 2 điều kiện đã cho thì a=15k+6 (1) và a=9q+1.

Từ (1) suy ra a chia hết cho 3, từ (2) suy ra a không chia hết cho 3. Đó là điều vô lí. Vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn đề.

c,1005 chia hết cho 15 => 1005a chia hết cho 15 (1)

   2100 chia hết cho 15 => 2100b chia hết cho 15 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1005a+2100b chia hết cho 15 (theo tính chất 1)

d,Ta có : n^2+n+1=nx(n+1)+1

nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 suy ra nx(n+1)+1 là một số lẻ nên không chia hết cho 2.

nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9 nên nx(n+1)+1 không có tận cùng là 0 hoặc 5, do đó nx(n+1)+1 không chia hết cho 5.

Mình xin trả lời ngắn gọn hơn!                                                                      a)60 chia hết cho 15=> 60n chia hết cho 15                                                   15 chia hết cho 15                                                                                       =>60n+15 chia hết cho 15.                                                                             60 chia hết cho 30=>60n chia hết cho 30                                                      15 không chia hết cho 30                                                                       =>60n+15 không chia hết cho 30                                             b)Gọi số tự nhiên đó là A                                                                           Giả sử A thỏa mãn cả hai điều kiện                                                           => A= 15.x+6 & = 9.y+1                                                                         Nếu A = 15x +6 => A chia hết cho 3                                                          Nếu A = 9y+1 => A không chia hết cho 3 => vô lí.=>                                    c) Vì 1005;2100 chia hết cho 15=> 1005a; 2100b chia hết cho 15.             => 1500a+2100b chia hết cho 15.                                                          d) A chia hết cho 2;5 => A chia hết cho 10.                                                 => A là số chẵn( cụ thể hơn là A là số có c/s tận cùng =0.)                    Nếu n là số chẵn => A là số lẻ. (vì chẵn.chẵn+chẵn+lẻ=lẻ)                           Nếu n là số lẻ => A là số lẻ (vì lẻ.lẻ+lẻ+lẻ=lẻ)                                       => A không chia hết cho 2;5

 Nguyễn Minh Trí giải kiểu j thế ?

a) (n mũ 2+n) chia hết cho 2 

=> n mũ 2 +n thuộc Ư(2), tự tìm ước của 2

\(n^2+n=n\left(n+1\right)\)

Vì n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 => đpcm

\(n^2+n+3=n\left(n+1\right)+3\)

Vì n(n+1) chia hết cho 2 => số cuối là số chẵn => n(n+1) + 3 có số cuối là số lẻ 

Vậy n^2+n+3 ko chia hết cho 2