\(M=5+5^2+5^3+.......+5^{2006}\)

\(\Leftrightarrow5M=5^2+5^3+.......+5^{2006}+5^{2007}\)

\(\Leftrightarrow5M-M=\left(5^2+5^3+.....+5^{2007}\right)-\left(5+5^2+......+5^{2006}\right)\)

\(\Leftrightarrow4M=5^{2007}-5\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{5^{2007}-5}{4}\)

Mà \(N=\dfrac{5^{2007}-129}{4}\)

\(\Leftrightarrow M-N=\dfrac{5^{2007}-5}{4}-\dfrac{5^{2007}-129}{4}\)

\(\Leftrightarrow M-N=\dfrac{129}{4}\)

Bạn xem lại có sai đề k ?

a, Gói 5 số tự nhiên liên tiếp là a,á+1,a+2.a+3.a+4(a thuộc N)

+Nếu a chia hết cho 5 , bài toán giải xong

+ Nếu a chia 5 dư 1, đặt a=5b+1(b thuộc N ) ta có a+4=5b+1+4=(5b+5) chia hết cho 5

+ Nếu a chia 5 dư 2, đặt a=5c+2 (c thuộc N) ta có a+3=5c+2+3=(5c+5) chia hết cho 5

+ Nếu a chia 5 dư 3 , đặt a=5d+3(d thuộc N) ta có a+2=5đ +3+2=(5d+5) chia hết cho5

+ Nếu a chia 5 dư 3, đặt a= 5e +4 ( e thuốc N ) ta có  a+1=5e+4+1=(5e+5) chia hết cho 5

Vậy trong 5 số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết  cho 5

b, 19 ^m+19^m+1,19^m+2,19^m+3,19m+4 là 5 số tự nhiên liên tiếp nên theo câu a có 1 số chia hết cho 5 ma 19^m ko chia hết cho 5 với mọi m thuộc N 

do đó : 19^m+1,19^m+2,19^m+3,19^m+4 có 1 số chia hết cho 5

=>(19^m+1);(19^m+2) (19^m+3), (19^m+4) chia hết cho 5

bài này mình chụi

\(M=1+5+5^2+...+5^{2005}\)

\(\Rightarrow5M=5+5^2+5^3+...+5+5^{2006}\)

\(\Rightarrow5M-M=\left(5+5^2+...+5^{2006}\right)-\left(1+5+...+5^{2005}\right)\)

\(\Rightarrow5M-M=4M=5^{2006}-1\Rightarrow M=\frac{5^{2006}-1}{4}\)

\(\frac{N}{4}=\frac{5^{2006}}{4}>\frac{5^{2006}-1}{4}=M\Rightarrow M< \frac{N}{4}\)

Ta xét biểu thức:

\(A = \frac{1}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \hdots + \frac{n}{5^{n + 1}} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; n \in \mathbb{N}\)

Ta xét tổng vô hạn:

\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}}\)

Đặt \(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}}\), ta muốn tính giá trị này để ước lượng \(A\), vì rõ ràng:

\(A = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{5^{k + 1}} < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}} = S\)

Ta đặt:

\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}} = \frac{1}{5} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)

Giờ xét:

\(T = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)

Tổng này là tổng lũy thừa có công thức:

\(\sum_{k = 1}^{\infty} k x^{k} = \frac{x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \mid x \mid < 1\)

Thay \(x = \frac{1}{5}\), ta có:

\(T = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}} = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\left(\right. 1 - \frac{1}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\left(\right. \frac{4}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{1 / 5}{16 / 25} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{16} = \frac{5}{16}\)

Do đó:

\(S = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{16} = \frac{1}{16}\)

Vì:

\(A = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{5^{k + 1}} < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}} = \frac{1}{16}\)

Nên ta có:

\(\boxed{A < \frac{1}{16}}\)

✅ Kết luận: Với mọi \(n \in \mathbb{N}\), ta có:

\(A = \frac{1}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \hdots + \frac{n}{5^{n + 1}} < \frac{1}{16}\)

Để chứng minh rằng \(A < \frac{1}{16}\), ta cần phân tích và tính giá trị của \(A\), nơi:

\(A = \frac{1}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \hdots + \frac{n}{5^{n}} + 1\)

Biểu thức của \(A\) có thể viết lại như sau:

\(A = \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k - 1}{5^{k}} + 1\)

Chúng ta sẽ tách phần tổng lại thành 2 phần:

\(A = 1 + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)

Để tính tổng này, ta sử dụng một phương pháp dựa trên sự phát triển của chuỗi số học trong chuỗi lũy thừa.

Đầu tiên, xét chuỗi cơ bản sau:

\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} x^{k} = \frac{x}{1 - x} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \mid x \mid < 1\)

Bước 1: Tính tổng của chuỗi số \(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{5^{k}}\)

Áp dụng công thức chuỗi số học cho \(x = \frac{1}{5}\):

\(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{5^{k}} = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}\)

Bước 2: Tính tổng của chuỗi số \(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)

Sử dụng công thức chuỗi tổng quát và tính tổng khi có một hệ số \(k\) trong tử số:

\(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}} = \frac{1}{4}\)

Tham khảo

4,

Gọi ƯCLN của ( 5n+7, 7n+10) = d

Ta có:

5n+7 ⋮ d

7n+10 ⋮ d

=> 7.(5n+7) ⋮ d

      5.(7n+10) ⋮ d

=> 35n + 49 ⋮ d

     35n + 50 ⋮ d

=> 35n + 50 - (35n + 49) ⋮ d

=> 1 ⋮ d

=> d=1

Vậy phân số 5n+7/ 7n+10 là phân số tối giản (đpcm)

Vì n là số tự nhiên nên n có dạng:

n=2k hoặc n= 2k+1 ( k ∈N∈N)

Với n=2k thì: (n+3)(n+12) = (2k+3)(2k+12)

= 2(2k+3)(k+6)⋮⋮2

⇒⇒(n+3)(n+12) ⋮2⋮2

Với n = 2k+1 thì: (n+3)(n+12)= (2k+1+3)(2k+1+12)

= (2k+4)(2k+13)

= 2(k+2)(2k+13)⋮2⋮2

⇒⇒ (n+3)(n+12)⋮2⋮2

Vậy (n+3)(n+12) là số chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n