câu trả lời tại đây

https://olm.vn/hoi-dap/tim-kiem?q=Cho+tam+gi%C3%A1c+ABC+c%C3%B3+G+l%C3%A0+tr%E1%BB%8Dng+t%C3%A2m.+Qua+G+v%E1%BA%BD+%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng+th%E1%BA%B3ng+d+c%E1%BA%AFt+hai+c%E1%BA%A1nh+AB+v%C3%A0+AC+t%E1%BA%A1i+D+v%C3%A0+E.+Ch%E1%BB%A9ng+minh:+AB/AD=AC/AE=3&id=516183

Xét 2 tam giác AMG và ABH ta có:

\(\widehat{BAH}\) chung 

\(\widehat{AMG}=\widehat{ABH}\) (cặp góc đồng vị do BH//MG) 

\(\Rightarrow\Delta AMG\sim\Delta ABH\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AH}{AG}\) (1) 

Xét 2 tam giác ANG và ACK có:

\(\widehat{CAK}\) chung 

\(\widehat{ANG}=\widehat{ACK}\) (cặp góc đồng vị do CK//GN) 

\(\Rightarrow\Delta ANG\sim\Delta ACK\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AK}{AG}\) (2) 

Xét hai tam giác BOH và COK ta có: 

\(\widehat{BOH}=\widehat{COK}\) (đối đỉnh) 

\(BO=CO\) (AO là đường trung tuyến nên O là trung điểm của BC) 

\(\widehat{HBO}=\widehat{KCO}\) (so le trong vì BH//MN và CK//MN ⇒ BH//CK) 

\(\Rightarrow\Delta BOH=\Delta COK\left(g.c.g\right)\) 

\(\Rightarrow HO=OK\) (hai cạnh t.ứng) 

\(\Rightarrow HK=2HO\)

Ta lấy (1) + (2) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AH+AK}{AG}=\dfrac{AH+AH+HK}{AG}=\dfrac{2AH+HK}{AG}\) 

\(=\dfrac{2AH+2HO}{AG}=\dfrac{2\left(AH+HO\right)}{AG}=\dfrac{2AO}{AG}\) 

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow AO=\dfrac{3}{2}AG\) 

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{2\cdot\dfrac{3}{2}AG}{AG}=2\cdot\dfrac{3}{2}=3\left(đpcm\right)\)  

AE=ED phải không bạn?

Đề bài phải sửa thành AE=ED

a/

Xét tg ABC

DE//AB (gt)

BD=CD (gt)

=> AE=CE (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) (1)

Mà DE=AE (gt) (2)

Từ (1) và (2) => DE=AE=CE (3)

Ta có

BD=CD (gt); AE=CE (cmt) => DE là đường trung bình của tg ABC

\(\Rightarrow DE=\dfrac{AB}{2}\) (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow DE=AE=CE=\dfrac{AB}{2}\)

\(\Rightarrow AE+CE=AB\) Mà \(AE+CE=AC\Rightarrow AB=AC\)

=> tg ABC cân tại A

b/

Xét tg ABC có

AD là trung tuyến (gt)

AE=CE (cmt) => BE là trung tuyến

=> G là trọng tâm của tg ABC (Trong tg 3 đường trung tuyến đồng quy tại 1 điểm gọi là trọng tâm của tg)

a) Ta có : AE=ED

⇒ Δ EAD cân tại E

⇒ Góc ADE = Góc EAD

mà Góc ADE = Góc DAB (DE\(//\)  AB ⇒ 2 góc bằng nhau ở vị trí so le trong)

⇒ Góc EAD = Góc DAB

⇒ AD là phân giác góc BAC

mà AD là trung tuyến Δ ABC (đề bài)

⇒ Δ ABC cân tại A

b) Ta có Góc EDC = Góc ABC (DE\(//\)  AB,góc đồng vị)

mà Góc ABC = Góc ACB

⇒ Góc ACB = Góc EDC

⇒ Δ EDC cân tại E

⇒ ED=EC

mà ED=AE (đề bài)

⇒ AE=EC

⇒ BE là trung tuyến Δ ABC

mà AD là trung tuyến Δ ABC (đề bài)

BE cắt AD tại G (đề bài)

⇒ G là trọng tâm Δ ABC