Cmr với mọi số tự nhiên n : (n +4) (n +7) chia hết cho 2
a: Với n=3 thì \(n^3+4n+3=3^3+4\cdot3+3=42⋮̸8\) nha bạn
b: Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\)
\(=\left(n^3+3n^2\right)-\left(n+3\right)\)
\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)
\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)
n lẻ nên n=2k+1
=>\(A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)
\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp
nên \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3!=6\)
=>\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮6\cdot8=48\)
c:
d: Đặt \(B=n^4-4n^3-4n^2+16n\)
\(=\left(n^4-4n^3\right)-\left(4n^2-16n\right)\)
\(=n^3\left(n-4\right)-4n\left(n-4\right)\)
\(=\left(n-4\right)\left(n^3-4n\right)\)
\(=n\left(n-4\right)\left(n^2-4\right)\)
\(=\left(n-4\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot n\cdot\left(n+2\right)\)
n chẵn và n>=4 nên n=2k
B=n(n-4)(n-2)(n+2)
\(=2k\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\left(2k-4\right)\)
\(=2k\cdot2\left(k-1\right)\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k-2\right)\)
\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k-2\right)\)
Vì k-2;k-1;k;k+1 là bốn số nguyên liên tiếp
nên \(\left(k-2\right)\cdot\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)⋮4!=24\)
=>B chia hết cho \(16\cdot24=384\)
bài 2: cho A= 1+2 + 3+ 4+ ... + n
a) với n = 2009 . cmr: A chia hết cho 2009 và A ko chia hết cho 2010
b) cmr: ( A- 7 ) ko chia hết cho 10 với mọi số tự nhiên n
Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n-1 chia hết cho 7.
CMR với mọi số tự nhiên n thì 2n+1 không chia hết cho 7
* n = 3k
A = 2ⁿ - 1 = 2^3k - 1 = 8^k - 1 = (8-1)[8^(k-1) + 8^(k-2) +..+ 8 + 1] = 7p chia hết cho 7
* n = 3k+1
A = 2^(3k+1) -1 = 2.2^3k - 1 = 2(8^k - 1) + 1 = 2*7p + 1 chia 7 dư 1
* n = 3k+2
A = 2^(3k+2) -1 = 4.8^k -1 = 4(8^k - 1) + 3 = 4*7p + 3 chia 7 dư 3
Tóm lại A = 2ⁿ -1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi n = 3k (k nguyên dương)
CMR với mọi số tự nhiên n thì S= 7+7^2+7^3+7^4+.....+7^4n chia hết cho 400
cmr với mọi n là số tự nhiên ta có n.(n+2).(n+7) chia hết cho 3
n . ( n + 2 ) . ( n + 7 )
= n . n . n ( 2 + 7 )
= n3 ( 2 + 7 )
= n3 . 9
Vì n3 bắt buộc phải chia hết cho 3 và 9 chia hết cho 3
=> n . ( n + 2 ) . ( n + 7 ) sẽ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên
n.(n+2).(n+7)
=n.n.n.(2+7)
=n^3.(2+7)
=2^3.9
n^3 chia hết cho 3;9 nên n.(n+2).(2+7) xẽ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên
cmr với mọi n là số tự nhiên ta có n.(n+2).(n+7) chia hết cho 3
xét n=3k=>n(n+2)(n+7) chia hết cho 3(1)
xét n=3k+1=>n+2=3k+3=3(k+1)
=>n(n+2)(n+7) chia hết cho 3(2)
xét n=3k+2=>n+7=3k+9=3(k+3)
=>n(n+2)(n+7) chia hết cho 3(3)
từ (1);(2);(3)=>n(n+2)(n+7) chia hết cho 3
=>đpcm
Bài 1 : CMR : 22...2(n chữ số 2) + 7n chia hết cho 9
Bài 2 : CMR với mọi số tự nhiên ta có:
a) (n.n + 2 ). (n + 7 )
b) 5n -1 chia hết cho 4
c) n^2 + n + 2 không chia hết cho 5
CMR: với mọi số tự nhiên n thì: (n+1)(n+4) chia hết cho 2
xét n chẵn=>n+4 chẵn
=>(n+1)(n+4) chia hết cho 2 (1)
xét n lẻ=>n+1 chẵn
=>(n+1)(n+4) chia hết cho 2 (2)
từ (1);(2)=>đpcm
Chứng minh rằng :
a) n . ( n + 5 ) hoặc chia hết cho 25 hoặc không chia hết cho 5 với mọi n là các số tự nhiên.
b)( n + 2 ) . ( n + 9 ) hoặc chia hết cho 49 hoặc không chia hết cho 7 với mọi n là các số tự nhiên.
c) n2 + 5n + 4 hoặc chia hết cho 9 hoặc không chia hết cho 3 với mọi n là các số tự nhiên.
a) Nếu n = 5k => n(n+5) = 5k.(5k + 5) = 25k(k+1) chia hết cho 25
Nếu n = 5k +1 => n(n + 5) = (5k + 1).(5k+6) = 5k.5k + 5k.6 + 1.5k + 6 = (25k2 + 35k) + 6 không chia hết cho 5
Nếu n = 5k + 2 => n(n + 5) = (5k + 2)(5k + 7) = (25k2 + 35k + 10k) + 14 không chia hết cho 5
Nếu n = 5k + 3 => n(n + 5) = (5k + 3)(5k + 8) = (25k2 + 55k) + 24 không chia hết cho 5
Nếu n = 5k + 4 => n(n + 5) = (5k + 4).(5k + 9) = (25k2 + 45k + 20k) + 36 không chia hết cho 5
Vậy với mọi n thì n(n+5) hoặc chia hết cho 25 hoặc không chia hết cho 5
b,c tương tự: