các bạn giúp mình với , please !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

c) Gọi T là giao điểm thứ hai của FD với đường tròn (O). Ta c/m EO đi qua T.

Ta có: ^ADM = ^DAC + ^DCA = ^BAC/2 + ^ACB = ^BAD + ^MAB = ^MAD => \(\Delta\)DAM cân tại M => MA=MD

Lại có: MA và MF là 2 tiếp tuyến của (O) nên MA=MF. Do đó: MD=MF => \(\Delta\)MDF cân tại M (đpcm).

Dễ thấy: \(\Delta\)MAB ~ \(\Delta\)MCA (g.g) và \(\Delta\)MFB ~ \(\Delta\)MCF (g.g)

=> \(\frac{MA}{MC}=\frac{MF}{MC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{FB}{FC}\) => FD là tia phân giác ^BFC (1)

Kẻ tia đối Fy của FB => ^EFy = ^ECB = ^EBC = ^EFC => FE là phân giác ^CFy (2)

Từ (1) và (2) suy ra: FD vuông góc với FE (Vì ^BFC + ^CFy = 180⁰) hay ^EFT = 90⁰  

=> ET là đường kính của (O) => ET trùng với OE => OE đi qua T => ĐPCM.

d) Áp dụng ĐL Ptolemy có tứ giác BFCT nội tiếp có: BF.CT + CF.BT = BC.FT

=> CT.(BF+CF) = BC.FT => \(BF+CF=\frac{BC.FT}{CT}\le\frac{BC.ET}{CT}=\frac{2CK.ET}{CT}=2EC=2BE\)

Dấu "=" xảy ra khi F trùng với E <=> MF vuông góc OE <=> MF // BC => M không nằm trên BC (mâu thuẫn)

=> Không có dấu "=" => BF+CF < 2BE (đpcm). 

a) Do AB // DE nên \(\widebat{AE}=\widebat{BD}\Rightarrow\widebat{AE}+\widebat{DC}=\widebat{BD}+\widebat{DC}=\widebat{BC}\)

Ta có \(\widehat{MIC}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên \(\widehat{MIC}=\frac{\widebat{AE}+\widebat{DC}}{2}=\frac{\widebat{BC}}{2}\)

Góc \(\widehat{MBC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung nên \(\widehat{MBC}=\frac{\widebat{BC}}{2}\)

Suy ra \(\widehat{MIC}=\widehat{MBC}\)

Xét tứ giác BMCI có \(\widehat{MIC}=\widehat{MBC}\) nên BMCI là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \(\widehat{MIC}=\widehat{MBC}\Rightarrow\Delta FIC\sim\Delta FBM\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{FI}{FB}=\frac{FC}{FM}\Rightarrow FI.FM=FB.FC\)

Ta cũng có \(\widehat{DBF}=\widehat{CEF}\Rightarrow\Delta BFD\sim\Delta EFC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{FB}{FE}=\frac{FD}{FC}\Rightarrow FE.FD=FB.FC\)

Vậy nên \(FI.FM=FE.FD\)

c) Do PQ là đường kính nên \(\widehat{PTQ}=90^o\)

Suy ra \(\Delta FIQ\sim\Delta FTM\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{FTM}=\widehat{FIQ}\)

Lại có BIMC nội tiếp, BOCM cũng nội tiếp nên 5 điểm B, O, I, C, M cùng thuộc đường trong đường kính OM.

Suy ra \(\widehat{FIQ}=90^o\)

Vậy thì P, T, M thẳng hàng.

d) Ta thấy \(S_{IBC}=\frac{1}{2}BC.d\left(I,BC\right)\)

Do BC không đổi nên S_IBC lớn nhất khi d(I; BC) lớn nhất.

Điều này xảy ra khi I trùng O hay tam giác ABC vuông tại B.

Vậy diện tích tam giác IBC lớn nhất khi AC là đường kính đường tròn (O).

Bạn vẽ hình ra nha,mình sẽ giải cho bạn

Gọi S là trung điểm của đoạn OM, H là hình chiếu của S trên DE. Khi đó khoảng cách từ S đến DE là SH.

Ta sẽ chỉ ra SH = const, thật vậy: Do BM,CM là các tiếp tuyến tại B,C của (O) nên ^OBM = ^OCM (=90⁰)

=> Tứ giác BOCM nội tiếp (OM). Ta cũng có: ^MEC = ^BAC (Vì ME // AB)

Theo tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây có ^BAC = ^MBC. Do đó ^MEC = ^MBC

=> Tứ giác MCEB nội tiếp. Tương tự, tứ giác MBDC nội tiếp

Từ đó sáu điểm B,D,O,E,C,M cùng thuộc đường tròn (OM) tâm là S => SD = SE = OM/2

Ta lại có OM² = OC² + CM² = const (Vì O,C,M cố định) => SD = SE = const

Mặt khác ^DSE = 2^DME = 2^BAC = Sđ(BC = const => ^SDE = const => Sin^DSE = const

Hay \(\frac{SH}{SD}=const\). Mà SD không đổi nên SH không đổi => H cách S một khoảng không đổi

Ta thấy S cố định => (S;SH) cố định. Do DE vuông góc SH tại H nên DE luôn tiếp xúc với (S;SH) cố định (đpcm).