Giải các bất phương trình bậc hai:
a) \({x^2} - 1 \ge 0\)
b) \({x^2} - 2x - 1 < 0\)
c) \( - 3{x^2} + 12x + 1 \le 0\)
d) \(5{x^2} + x + 1 \ge 0\)
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(2{x^2} - 5x + 3 > 0\)
b) \( - {x^2} - 2x + 8 \le 0\)
c) \(4{x^2} - 12x + 9 < 0\)
d) \( - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0\)
a) Ta có \(a = 2 > 0\) và \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.3 = 1 > 0\)
=> \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 1,{x_2} = \frac{3}{2}\).
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \(2{x^2} - 5x + 3\) mang dấu “+” là \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} - 5x + 3 > 0\) là \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
b) Ta có \(a = - 1 < 0\) và \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right).8 = 9 > 0\)
=> \( - {x^2} - 2x + 8 = 0\)có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4,{x_2} = 2\).
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \( - {x^2} - 2x + 8\) mang dấu “-” là \(\left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} - 2x + 8 \le 0\) là \(\left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
c)
Ta có \(a = 4 > 0\) và \(\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.9 = 0\)
=> \(4{x^2} - 12x + 9 = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{3}{2}\).
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \(4{x^2} - 12x + 9\) mang dấu “-” là \(\emptyset \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(4{x^2} - 12x + 9 < 0\) là \(\emptyset \)
d) \( - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0\)
Ta có \(a = - 3 < 0\) và \(\Delta = {7^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - 4} \right) = 1 > 0\)
=> \( - 3{x^2} + 7x - 4 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{4}{3}\).
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \( - 3{x^2} + 7x - 4\) mang dấu “+” là \(\left[ {1;\frac{4}{3}} \right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0\) là \(\left[ {1;\frac{4}{3}} \right]\)
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(2{x^2} - 15x + 28 \ge 0\)
b) \( - 2{x^2} + 19x + 255 > 0\)
c) \(12{x^2} < 12x - 8\)
d) \({x^2} + x - 1 \ge 5{x^2} - 3x\)
a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 15x + 28\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{7}{2};{x_2} = 4\)
và có \(a = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right) \ge 0\) khi x thuộc hai nửa khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{7}{2}} \right];\left[ {4; + \infty } \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} - 15x + 28 \ge 0\) là \(\left( { - \infty ;\frac{7}{2}} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\)
b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 19x + 255\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - \frac{{15}}{2};{x_2} = 17\)
và có \(a = - 2 < 0\) nên \(f\left( x \right) > 0\) khi x thuộc khoảng \(\left( { - \frac{{15}}{2};17} \right)\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 2{x^2} + 19x + 255 > 0\) là \(\left( { - \frac{{15}}{2};17} \right)\)
c) \(12{x^2} < 12x - 8 \Leftrightarrow 12{x^2} - 12x + 8 < 0\)
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 12{x^2} - 12x + 8\) có \(\Delta = - 240 < 0\) và \(a = 12 > 0\)
nên \(f\left( x \right) = 12{x^2} - 12x + 8\) dương với mọi x
Vậy bất phương trình \(12{x^2} < 12x - 8\) vô nghiệm
d) \({x^2} + x - 1 \ge 5{x^2} - 3x \Leftrightarrow -4{x^2} + 4x - 1 \ge 0\)
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = -4{x^2} + 4x - 1\) có \(\Delta = 4^2 - 4.(-4).(-1)\)
Do đó tam thức bậc hai có nghiệm kép \({x_1} = {x_2}= \frac{1}{2}\) và a = - 4 < 0
Vậy bất phương trình \({x^2} + x - 1 \ge 5{x^2} - 3x\) có tập nghiệm S = {\(\frac{1}{2}\)}
Giải các bất phương trình sau:
a) \(2{x^2} - 3x + 1 > 0\)
b) \({x^2} + 5x + 4 < 0\)
c) \( - 3{x^2} + 12x - 12 \ge 0\)
d) \(2{x^2} + 2x + 1 < 0.\)
a) \(2{x^2} - 3x + 1 > 0\)
Tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 1\) có \(a + b + c = 2 - 3 + 1 = 0\) nên hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \frac{1}{2}.\)
Mặt khác \(a = 2 > 0,\) do đó ta có bảng xét dấu sau:
Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S= \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
b) \({x^2} + 5x + 4 < 0\)
Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} + 5x + 4\) có \(a - b + c = 1 - 5 + 4 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = - 1\) và \(x = - 4.\)
Mặt khác \(a = 1 > 0,\) do đó ta có bảng xét dấu sau:
Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - 4; - 1} \right).\)
c) \( - 3{x^2} + 12x - 12 \ge 0\)
Tam thức \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 12x - 12 = - 3\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = - 3{\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\)
Do đó
\( - 3{x^2} + 12x - 12 \ge 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 12x - 12 = 0 \Leftrightarrow - 3{\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2.\)
Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { 2} \right).\)
d) \(2{x^2} + 2x + 1 < 0.\)
Tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 2x + 1\) có \(\Delta = - 1 < 0,\) hệ số \(a = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) luôn dướng với mọi \(x,\) tức là \(2{x^2} + 2x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)
\( \Rightarrow \) bất phương trình vô nghiệm
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) \(2x - 3y + 1 \le 0\)
b) \(x - 3y + 1 \ge 0\)
c) \(y - 5 > 0\)
d) \(x - {y^2} + 1 > 0\)
Các bất phương trình a), b), c) là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình d) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({y^2}.\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \(0,{1^{2 - x}} > 0,{1^{4 + 2x}};\)
b) \({2.5^{2x + 1}} \le 3;\)
c) \({\log _3}\left( {x + 7} \right) \ge - 1;\)
d) \({\log _{0,5}}\left( {x + 7} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {2x - 1} \right).\)
\(a,0,1^{2-x}>0,1^{4+2x}\\ \Leftrightarrow2-x>2x+4\\ \Leftrightarrow3x< -2\\ \Leftrightarrow x< -\dfrac{2}{3}\)
\(b,2\cdot5^{2x+1}\le3\\ \Leftrightarrow5^{2x+1}\le\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow2x+1\le log_5\left(\dfrac{3}{2}\right)\\ \Leftrightarrow2x\le log_5\left(\dfrac{3}{2}\right)-1\\ \Leftrightarrow x\le\dfrac{1}{2}log_5\left(\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow x\le log_5\left(\dfrac{\sqrt{30}}{10}\right)\)
c, ĐK: \(x>-7\)
\(log_3\left(x+7\right)\ge-1\\ \Leftrightarrow x+7\ge\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow x\ge-\dfrac{20}{3}\)
Kết hợp với ĐKXĐ, ta có:\(x\ge-\dfrac{20}{3}\)
d, ĐK: \(x>\dfrac{1}{2}\)
\(log_{0,5}\left(x+7\right)\ge log_{0,5}\left(2x-1\right)\\ \Leftrightarrow x+7\le2x-1\\ \Leftrightarrow x\ge8\)
Kết hợp với ĐKXĐ, ta được: \(x\ge8\)
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(3{x^2} - 2x + 4 \le 0\)
b) \( - {x^2} + 6x - 9 \ge 0\)
a) Ta có \(a = 3 > 0\) và tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 4\) có \(\Delta ' = {1^2} - 3.4 = - 11 < 0\)
=> \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 4\) vô nghiệm.
=> \(3{x^2} - 2x + 4 > 0\forall x \in \mathbb{R}\)
b) Ta có: \(a = - 1 < 0\) và \(\Delta ' = {3^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - 9} \right) = 0\)
=> \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 9\) có nghiệm duy nhất \(x = 3\).
=> \( - {x^2} + 6x - 9 < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \(7{x^2} - 19x - 6 \ge 0\)
b) \( - 6{x^2} + 11x > 10\)
c) \(3{x^2} - 4x + 7 > {x^2} + 2x + 1\)
d) \({x^2} - 10x + 25 \le 0\)
a) Xét tam thức \(f\left( x \right) = 7{x^2} - 19x - 6\) có \(\Delta = 529 > 0\), có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - \frac{2}{7},{x_2} = 3\) và có \(a = 7 > 0\)
Ta có bảng xét dấu như sau
Vậy nghiệm của bất phương trình là đoạn \(\left[ { - \frac{2}{7};3} \right]\)
b) \( - 6{x^2} + 11x > 10 \Leftrightarrow - 6{x^2} + 11x - 10 > 0\)
Xét tam thức \(f\left( x \right) = - 6{x^2} + 11x - 10\) có \(\Delta = - 119 < 0\)và có \(a = - 6 < 0\)
Ta có bảng xét dấu như sau
Vậy bất phương trình vô nghiệm
c) \(3{x^2} - 4x + 7 > {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 6 > 0\)
Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 6x + 6\) có \(\Delta = - 12 < 0\)và có \(a = 2 > 0\)
Ta có bảng xét dấu như sau
Vậy bất phương trình có vô số nghiệm
d) Xét tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 10x + 25\) có \(\Delta = 0\), có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = 5\) và có \(a = 1 > 0\)
Ta có bảng xét dấu như sau
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x = 5\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \(2{x^2} + 3x + 1 \ge 0\)
b) \( - 3{x^2} + x + 1 > 0\)
c) \(4{x^2} + 4x + 1 \ge 0\)
d) \( - 16{x^2} + 8x - 1 < 0\)
e) \(2{x^2} + x + 3 < 0\)
g) \( - 3{x^2} + 4x - 5 < 0\)
a) \(2{x^2} + 3x + 1 \ge 0\)
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 3x + 1\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = - 1,x = \frac{{ - 1}}{2}\)
hệ số \(a = 2 > 0\)
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
b) \( - 3{x^2} + x + 1 > 0\)
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + x + 1\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = \frac{{1 - \sqrt {13} }}{6},x = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}\)
Hệ số \(a = - 3 < 0\)
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt {13} }}{6} < x < \frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\frac{{1 - \sqrt {13} }}{6};\frac{{1 + \sqrt {13} }}{6}} \right)\)
c) \(4{x^2} + 4x + 1 \ge 0\)
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 4{x^2} + 4x + 1\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{ - 1}}{2}\)
hệ số \(a = 4 > 0\)
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\)
d) \( - 16{x^2} + 8x - 1 < 0\)
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 16{x^2} + 8x - 1\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{4}\)
hệ số \(a = - 16 < 0\)
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{4}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{4}} \right\}\)
e) \(2{x^2} + x + 3 < 0\)
Ta có \(\Delta = {1^2} - 4.2.3 = - 23 < 0\) và có \(a = 2 > 0\)
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \(2{x^2} + x + 3\) mang dấu “-” là \(\emptyset \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} + x + 3 < 0\) là \(\emptyset \)
g) \( - 3{x^2} + 4x - 5 < 0\)
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 4x - 5\) có \(\Delta ' = {2^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 5} \right) = - 11 < 0\) và có \(a = - 3 < 0\)
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \( - 3{x^2} + 4x - 5\) mang dấu “-” là \(\mathbb{R}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 3{x^2} + 4x - 5 < 0\) là \(\mathbb{R}\)
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. \(x + y > 3\)
B. \({x^2} + {y^2} \le 4\)
C. \(\left( {x - y} \right)\left( {3x + y} \right) \ge 1\)
D. \({y^3} - 2 \le 0\)
Đáp án A: \(x + y > 3\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có a=1, b=1, c=3
Đáp án B: \({x^2} + {y^2} \le 4\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có \({x^2},{y^2}\)
Đáp án C: \(\left( {x - y} \right)\left( {3x + y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2xy - {y^2} \ge 1\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có \({x^2},{y^2}\)
Đáp án D: \({y^3} - 2 \le 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có \({y^3}\).
Chọn A