a)

+) Số trung bình \(\overline x  = \frac{{ - 2.10 + ( - 1).10 + 0.30 + 1.20 + 2.10}}{{10 + 20 + 30 + 20 + 10}} = 0\)

+) phương sai hoặc \({S^2} = \frac{1}{90}\left( {10.{{( - 2)}^2} + 10.{{( - 1)}^2} + ... + {{10.2}^2}} \right) - {0^2} = 4 \over 3\)

  => Độ lệch chuẩn \(S \approx 1,155\)

+) Khoảng biến thiên: \(R = 2 - ( - 2) = 4\)

Tứ phân vị: \({Q_2} = 0;{Q_1} =  - 1;{Q_3} = 1\)

+) Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = 1 - ( - 1) = 2\)

b) Giả sử cỡ mẫu \(n = 10\). Khi đó mẫu số liệu trở thành:

+) Số trung bình \(\overline x  = \frac{{0.0,1 + 1.0,2 + 2.0,4 + 3.0,2 + 4.0,1}}{{0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1}} = 2\)

+) phương sai hoặc \({S^2} = \frac{1}{1}\left( {0,{{1.0}^2} + 0,{{2.1}^2} + ... + 0,{{1.4}^2}} \right) - {2^2} = 1,2\)

  => Độ lệch chuẩn \(S \approx 1,1\)

+) Khoảng biến thiên: \(R = 4 - 0 = 4\)

Tứ phân vị: \({Q_2} = 2;{Q_1} = 1;{Q_3} = 3\)

+) Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = 3 - 1 = 2\)

a)

+) Số trung bình \(\overline x  = \frac{{6 + 8 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 + 4}}{9} = 5\)

+) phương sai hoặc \({S^2} = \frac{1}{9}\left( {{6^2} + {8^2} + ... + {4^2}} \right) - {5^2} = \frac{{10}}{3}\)

  => Độ lệch chuẩn \(S = \sqrt {\frac{{10}}{3}}  \approx 1,8\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8.

+) Khoảng biến thiên: \(R = 8 - 2 = 6\)

Tứ phân vị: \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\)

\({Q_2} = {M_e} = 5\)

\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu 2; 3; 4; 4. Do đó \({Q_1} = 3,5\)

\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu: 6; 6; 7; 8. Do đó \({Q_3} = 6,5\)

+) Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = 6,5 - 3,5 = 3\)

+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu \(x > 6,5 + 1,5.3 = 11\) hoặc \(x < 3,5 - 1,5.3 =  - 1\)

Vậy không có giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.

b)

+) Số trung bình \(\overline x  = \frac{{13 + 37 + 64 + 12 + 26 + 43 + 29 + 23}}{8} = 30,875\)

+) phương sai hoặc \({S^2} = \frac{1}{8}\left( {{{13}^2} + {{37}^2} + ... + {{23}^2}} \right) - 30,{875^2} \approx 255,8\)

  => Độ lệch chuẩn \(S \approx 16\)

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 12; 13; 23; 26; 29; 37; 43; 64.

+) Khoảng biến thiên: \(R = 64 - 12 = 52\)

Tứ phân vị: \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\)

\({Q_2} = {M_e} = 27,5\)

\({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu 12; 13; 23; 26. Do đó \({Q_1} = 18\)

\({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu: 29; 37; 43; 64. Do đó \({Q_3} = 40\)

+) Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = 40 - 18 = 22\)

+) x là giá trị ngoại lệ trong mẫu nếu \(x > 40 + 1,5.22 = 73\) hoặc \(x < 18 - 1,5.22 =  - 15\)

Vậy không có giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên.

Ví dụ, ta có bảng đo chiều cao của các bạn trong tổ như sau:

 a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

160   162     164      165      172      174      177      178      180

Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:

\(\overline x  = \frac{{160\;\; + 162\;\; + 164\;\;\; + \;\;165\;\; + \;172\;\; + \;174\;\; + \;177\; + \;\;178\; + \;180}}{9} = \frac{{1532}}{9}\)

Trung vị của mẫu số liệu trên là: Do mẫu số liệu trên có 9 số liệu ( lẻ ) nên trung vị \({Q_2} = 172\)

 Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

-  Trung vị của dãy 160   162  164   165 là: \({Q_1} = 163\)

- Trung vị của dãy  174   177  178   180 là: \({Q_3} = 177,5\)

- Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({Q_1} = 163\), \({Q_2} = 172\), \({Q_3} = 177,5\)

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: \(R = {x_{\max }} - {x_{\min }} = 180 - 160 = 20\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 177,5 - 163 = 14,5\)

c) Phương sai của mẫu số liệu trên là:

\({s^2} = \frac{{\left[ {{{\left( {160 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {162 - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {180 - \overline x } \right)}^2}} \right]}}{9} \approx 50,84\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: \(s = \sqrt {{s^2}}  \approx 7,13\)

Sắp xếp theo thứ tự không giảm.

2,593  2,977  3,155  3,270  3,387  3,412  3,813  3,920  4,042  4,236 

Khoảng biến thiên \(R = 4,236 - 2,593 = 1,643\)

Vì n=10 nên ta có:

\({Q_1} = 3,155\); \({Q_3} = 3,920\)

Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3,920 - 3,155\)\( = 0,765\)

\(\overline x \approx 3,481\)

Ta có:

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {0,2396}  \approx 0,489\)Phương sai là: \({s_2} = \frac{{2,396}}{{10}} = 0,2396\)

Tham khảo:

n=10

Giả sử sau khi sắp xếp 10 số dương theo thứ tự không giảm thì được:

=> Trung vị là giá trị trung bình của số thứ 5 và thứ 6.

=> \({Q_1}\) là số thứ 3 và \({Q_3}\) là số thứ 8.

a) Khi nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:

+ Số lớn nhất tăng 2 lần và số nhỏ nhất tăng 2 lần

=> R tăng 2 lần

+ \({Q_1}\) và \({Q_3}\) tăng 2 lần

=> Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) tăng 2 lần.

+ Giá trị trung bình tăng 2 lần

=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(\left| {{x_i} - \overline x} \right|\) cũng tăng 2 lần

=> \({\left( {{x_i} - \overline x} \right)^2}\) tăng 4 lần

=> Phương sai tăng 4 lần

=> Độ lệch chuẩn tăng 2 lần.

Vậy R tăng 2 lần, khoảng tứ phân vị tăng 2 lần và độ lệch chuẩn tăng 2 lần.

b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì

+  Số lớn nhất tăng 2 đơn vị và số nhỏ nhất tăng 2 đơn vị

=> R không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

+ \({Q_1}\) và \({Q_3}\) tăng 2 đơn vị

=> Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

+ Giá trị trung bình tăng 2 đơn vị

=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(\left| {{x_i} - \overline x} \right|\) không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

=> \({\left( {{x_i} - \overline x} \right)^2}\) không đổi

=> Phương sai không đổi.

=> Độ lệch chuẩn không đổi.

Vậy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều không đổi.

a) Dựa vào biểu đồ, ta có mẫu số liệu là:

5767 5757 5737 5727 5747 5747 5722

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó là: \(R = {x_{\max }} - {x_{\min }} = 5767 - 5722 = 45\)

c) +) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta có:

5722 5727 5737 5747 5747 5757 5767

+) Các tứ phân vị của mẫu số liệu là:

Trung vị của mẫu số liệu: \({Q_2}\) = 5747.

Trung vị của dãy 5722 5727 5737 là: \({Q_1}\) = 5727.

Trung vị của dãy 5747 5757 5767 là: \({Q_3}\) = 5757.

+) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({\Delta _Q} ={Q_3} - {Q_1}\) = 5757- 5727= 30.

d) +) Giá vàng trung bình trong 7 ngày đầu tiên của tháng 6 năm 2021 là: \(\overline x  = \frac{{5722{\rm{  +  }}5727{\rm{  +  }}5737{\rm{  +  }}5747{\rm{  +  }}5747{\rm{   +  }}5757{\rm{  +  }}5767}}{7} = 5743,43\) ( nghìn đồng/ chỉ)

+) Phương sai của mẫu số liệu là: \({s^2} = \frac{{\left[ {{{\left( {5722 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {5727 - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {5767 - \overline x } \right)}^2}} \right]}}{7} \approx 219,39\)

+) Độ lệch chuẩn của của mẫu số liệu là: \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {219,39}  \approx 14,81\)( nghìn đồng/ chỉ)

a) Dựa vào biểu đồ, ta có mẫu số liệu là:

                                               5,25  5,42  5,98  6,68  6,21  6,81  7,08  7,02

b)

+) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta có:

                                                  5,25  5,42  5,98  6,21  6,68  6,81  7,02  7,08

 +) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đó là: \(R = {x_{\max }} - {x_{\min }} = 7,08 - 5,25 = 1,83\)

c)

+) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta có:

                                       5,25  5,42  5,98  6,21  6,68  6,81 7,02  7,08

+) Các tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({Q_1} = 5,7,{Q_2} = 6,445,{Q_3} = 6,915\)

+) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({Q_3} - {Q_1} = 1,215\)

d)

+) Tốc độ tăng trưởng GDP  trung bình của Việt Nam giai đoạn 2012 – 2019 là:\(\overline x  = \frac{{5,25{\rm{  +  }}5,42{\rm{  +  }}5,98{\rm{  +  }}6,21{\rm{  +  }}6,68\; + 6,81{\rm{  +  }}7,02{\rm{  +  }}7,08}}{8} = 6,30625\) (%)

 +) Phương sai của mẫu số liệu là: \({s^2} = \frac{{\left[ {{{\left( {5,25 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {5,42 - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {7,08 - \overline x } \right)}^2}} \right]}}{8} \approx 0,44\)

+) Độ lệch chuẩn của của mẫu số liệu là: \(s = \sqrt {{s^2}}  \approx 0,66\)(%)

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19

+) Vì cỡ mẫu là \(n = 9\), là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = 10\)

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7.

Do đó \({Q_1} = \frac{1}{2}(2 + 5) = 3,5\)

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19.

Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}(13 + 15) = 14\)

b) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19

+) Vì cỡ mẫu là \(n = 10\), là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = \frac{1}{2}(9 + 10) = 9,5\)

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9.

Do đó \({Q_1} = 5\)

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19.

Do đó \({Q_3} = 15\)