Ta có: \(2^m-2^n=256\)

\(\Rightarrow2^n.\frac{2^m}{2^n}-2^n=256\)

VÌ 2^m - 2ⁿ = 256

=> 2^m > 2ⁿ 

=> m > n

\(\Rightarrow2^n.\left(2^{m-n}-1\right)=256\)

\(\Rightarrow2^n.\left(2^{m-n}-1\right)=2^8.1\)

VÌ 2^m-n - 1 luôn là số lẻ

=> 2^m-n - 1 = 1

và 2ⁿ = 2⁸

=> n = 8 ( thỏa mãn )

=> m = 9 ( thỏa mãn )

Vậy: m = 9 và n = 8

b) Vì m,n nguyên dương. Mà vế phải là số dương.Nên m > n

Đặt \(m=n+k\left(k>0,k\inℤ\right)\)

Ta có: \(2^{n+k}-2^n=2^8\Leftrightarrow2^n\left(2^k-1\right)=2^8\)

\(\Rightarrow2^k-1\inƯ\left(2^8\right)\)

Do \(2^k-1\)lẻ.Mà ước của 2⁸ chỉ có 1 là số lẻ.

Suy ra \(2^k-1=1\Leftrightarrow2^k=2\Leftrightarrow k=1\Leftrightarrow n=8\)

Suy ra \(m=k+n=1+8=9\)

Vậy n = 8 ; m = 9

a)2^m-2^m*2^n+2^n-1=-1  

(2^m-1)(2^n-1)=1  

do m,n là số tự nhiên nên

2^m-1 và 2^n-1 là ước dương của 1  

hay đồng thời xảy ra 2^m-1=1 và 2^n-1=1 suy ra m=n=1

a)m=n=1

b)n=8;m=9

\(2^m+2^n=2^{m+n}\)

\(\Leftrightarrow2^m-2^{m+n}+2^n=0\)

\(\Leftrightarrow2^m\left(1-2^n\right)-1+2^n=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(2^m-1\right)\left(1-2^n\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^m-1=1\\1-2^n=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}2^m-1=1\\1-2^n=1\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}2^m-1=-1\\1-2^n=-1\end{cases}}\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}2^m-1=-1\\1-2^n=-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^m=0\\2^n=0\end{cases}}\)( vô lí )  hoặc \(\hept{\begin{cases}2^m=2\\2^n=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow m=n=1\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(m\ge n\)

Khi đó:\(m=n+k\left(k\in N\right)\)

Ta có
\(2^{n+k}+2^n=2^{2n+k}\)

\(\Leftrightarrow2^n\left(2^k+1\right)=2^{2n+k}\)

Do VP là lũy thừa của 2 nên VP là tích của các số chẵn => \(2^k+1\) chẵn

\(\Rightarrow2^k\) lẻ suy ra k=0

Suy ra m=n

Khi đó pt tương đương với \(2^m+2^m=2^{m+m}\Leftrightarrow2\cdot2^m=4^m\Leftrightarrow2^m=2\Rightarrow m=1\)

Vậy m=1;n=1 là nghiệm của phương trình trên

n² + n + 1 = ( m² + m - 3 ) ( m² - m + 5 ) = m⁴ + m² + 8m - 15

\(\Rightarrow\)n² + n - ( m⁴ + m² + 8m - 16 ) = 0                  ( 1 )

để phương trình ( 1 ) có nghiệm nguyên dương thì : 

\(\Delta=1+4\left(m^4+m^2+8m-16\right)=4m^4+4m^2+32m-63\)phải là số chính phương

Ta có : \(\Delta=\left(2m^2+2\right)^2-4\left(m-4\right)^2-3< \left(2m^2+2\right)^2\)với m thuộc Z+

Mặt khác : \(\Delta=\left(2m^2+1\right)^2+32\left(m-2\right)\)

do đó : \(\Delta=\left(2m^2+1\right)^2+32\left(m-2\right)>\left(2m^2+1\right)^2\)với m > 2

\(\Rightarrow\left(2m^2+1\right)^2< \Delta< \left(2m^2+2\right)^2\)với m > 2

Nên ( 1 ) có nghiệm nguyên dương khi m = 1 hoặc m = 2

+) m = 1 thì \(n^2+n+16=0\)   vô nghiệm

+) m = 2 thì \(n^2=n-20=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=4\left(tm\right)\\n=-5\left(loai\right)\end{cases}}\)

Thử lại m = 2 và n = 4 thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy m = 2 và n = 4

P/s : bài " gắt "

 Câu trả lời hay nhất:  Cách 1: 
2^m + 2^n = 2^(m + n) 
<=> 2^m = 2^(m + n) - 2^n 
<=> 2^m = 2^n(2^m - 1) 
<=> 2^(m - n) = 2^m - 1 (1) 
Vì m >= 1 nên 2^m - 1 >= 2^1 - 1 =1. Từ (1), ta suy ra 2^(m - n) > = 1 = 2^0 nên m >= n (2). 
Mặt khác, vì vai trò của m và n trong phương trình đã cho là đối xứng nên phương trình đã cho cũng tương đương với 2^(n - m) = 2^n - 1 (3) và (3) cho ta n > = m (4). 
(2) và (4) cho ta m = n và phương trình trở thành 
2^(m + 1) = 2^(2m) 
<=> m + 1 = 2m 
<=> m = 1 
Vậy phương trình có nghiệm m = n = 1. 

Cách 2: 
Trước hết, ta chứng minh rằng nếu a >= 2, b >= 2 thì a + b = ab khi và chỉ khi a = b = 2. 
Thật vậy, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử a <= b. 
Khi đó a + b <= 2b <= ab. Như vậy a + b = ab khi và chỉ khi a + b = 2b và 2b = ab, tức là a = b = 2. 

Trở lại phương trình, đặt a = 2^m >= 2, b = 2^n >= 2, ta có a + b = ab nên a = b = 2, tức 2^m = 2^n = 2 hay m = n = 1.

:D

 2^m+2ⁿ=2^m+n.

 <=> 2^m = 2^(m + n) - 2^n 

<=> 2^m = 2^n(2^m - 1) 
<=> 2^(m - n) = 2^m - 1 (1) 
Vì m >= 1 nên 2^m - 1 >= 2^1 - 1 =1. Từ (1), ta suy ra 2^(m - n) > = 1 = 2^0 nên m >= n (2). 
Mặt khác, vì vai trò của m và n trong phương trình đã cho là đối xứng nên phương trình đã cho cũng tương đương với 2^(n - m) = 2^n - 1 (3) và (3) cho ta n > = m (4). 
(2) và (4) cho ta m = n và phương trình trở thành 
2^(m + 1) = 2^(2m) 
<=> m + 1 = 2m 
<=> m = 1 
Vậy phương trình có nghiệm m = n = 1. 

​chúc bạn hok tốt

mình ko hiểu bài của bạn lắm