Cho một tam giác đều ABC cạnh \(a\). Tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}, \ldots \), tam giác \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}, \ldots \) Gọi \({p_1},{p_2}, \ldots ,{p_n}, \ldots \) và \({S_1},{S_2}, \ldots ,{S_n}, \ldots \) theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2}, \ldots ,{A_n}{B_n}{C_n}, \ldots \).
a) Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {{p_n}} \right)\) và \(\left( {{S_n}} \right)\).
b) Tìm các tổng \({p_1} + {p_2} + \ldots + {p_n} + \ldots \) và \({S_1} + {S_2} + \ldots + {S_n} + \ldots \).
