Số cuộc gọi của người đó trong một tuần là \(n = 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33\).

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{33}}\) là thời gian thực hiện cuộc gọi của người đó trong một tuần được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\({x_1},...,{x_8} \in \left[ {0;60} \right);{x_9},...,{x_{18}} \in \left[ {60;120} \right);{x_{19}},...,{x_{25}} \in \left[ {120;180} \right);{x_{26}},...,{x_{30}} \in \left[ {180;240} \right);\) \({x_{31}},{x_{32}} \in \left[ {240;300} \right);{x_{33}} \in \left[ {300;360} \right)\).

• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \({x_{17}}\) thuộc nhóm \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {60;120} \right)}\end{array}\)

Ta có: \(n = 33;{n_m} = 10;C = 8;{u_m} = 60;{u_{m + 1}} = 120\)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 60 + \frac{{\frac{{33}}{2} - 8}}{{10}}.\left( {120 - 60} \right) = 111\)

• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_8} + {x_9}} \right)\).

Do \({x_8} \in \left[ {0;60} \right),{x_9} \in \left[ {60;120} \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \({Q_1} = 60\).

• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right)\).

Do \({x_{25}} \in \left[ {120;180} \right),{x_{26}} \in \left[ {180;240} \right)\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \({Q_3} = 180\).

Tổng số học sinh: \(n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82\)

• Điểm trung bình môn Toán của các học sinh lớp 11 trên là:

\(\bar x = \frac{{8.6,75 + 10.7,25 + 16.7,75 + 24.8,25 + 13.8,75 + 7.9,25 + 4.9,75}}{{82}} = 8,12\)

• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\left[ {8;8,5} \right)\).

Do đó: \({u_m} = 8;{n_{m - 1}} = 16;{n_m} = 24;{n_{m + 1}} = 13;{u_{m + 1}} - {u_m} = 8,5 - 8 = 0,5\)

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 8 + \frac{{24 - 16}}{{\left( {24 - 16} \right) + \left( {24 - 13} \right)}}.0,5 \approx 8,21\)

• Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{82}}\) là điểm của các học sinh lớp 11 được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1},...,{x_8} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {6,5;7} \right)}\end{array};{x_9},...,{x_{18}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {7;7,5} \right)}\end{array};{x_{19}},...,{x_{34}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {7,5;8} \right)}\end{array};{x_{35}},...,{x_{58}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {8;8,5} \right)}\end{array};\\{x_{59}},...,{x_{71}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {8,5;9} \right)}\end{array};{x_{72}},...,{x_{78}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {9;9,5} \right)}\end{array};{x_{79}},...,{x_{82}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {9,5;10} \right)}\end{array}\end{array}\)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{41}} + {x_{42}}} \right)\)

Ta có: \(n = 82;{n_m} = 24;C = 8 + 10 + 16 = 34;{u_m} = 8;{u_{m + 1}} = 8,5\)

Do \({x_{41}},{x_{42}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8;8,5} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 8 + \frac{{\frac{{82}}{2} - 34}}{{24}}.\left( {8,5 - 8} \right) \approx 8,15\)

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \({x_{21}}\).

Ta có: \(n = 82;{n_m} = 16;C = 8 + 10 = 18;{u_m} = 7,5;{u_{m + 1}} = 8\)

Do \({x_{21}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {7,5;8} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 7,5 + \frac{{\frac{{82}}{4} - 18}}{{16}}.\left( {8 - 7,5} \right) \approx 7,58\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \({x_{62}}\).

Ta có: \(n = 82;{n_j} = 13;C = 8 + 10 + 16 + 24 = 58;{u_j} = 8,5;{u_{j + 1}} = 9\)

Do \({x_{62}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8,5;9} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 8,5 + \frac{{\frac{{3.82}}{4} - 58}}{{13}}.\left( {9 - 8,5} \right) \approx 8,63\)

Cỡ mẫu là: \(n = 21\).

Suy ra tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\)là \(\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}\). Do \({x_5};{x_6}\) đều thuộc nhóm [5;10) nên từ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [5;10).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{16}} + {x_{17}}}}{2}\) . Do \({x_{16}};\;{x_{17}}\)đều thuộc nhóm [10; 15) nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [10; 15).

Tham khảo:

a)

b) Không thể tính chính xác, chúng ta chỉ có thể tinh số gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp

c) Giá trị đại diện của nhóm bằng trung bình giá trị đầu mút phải và trái của nhóm đó

Nhóm \( \ge 4.5\) là nhóm mở nên ta dựa theo nhóm gần đó nhất là nhóm [3;4.5) để lấy giá trị đại diện

Số trung binh của mẫu số liệu: : \(\bar x = \frac{{0.75 \times 8 + 2.25 \times 23 + 2.75 \times 6 + 5.25 \times 3}}{{40}} = 2.25\).

a) Không thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh

b) Tần số lớn nhất là 16 nên nhóm chứa mốt là [5;10)

Ta có \(j = 2,\;{a_2} = 5,\;{m_2} = 16,\;{m_1} = 8;\;{m_3} = 4,\;h = 5.\) Do đó,

                 \({M_0} = 5 + \frac{{16 - 8}}{{\left( {16 - 8} \right) + \left( {16 - 4} \right)}} \times 5 = 7\).

Tham khảo:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(R = 29 - 10 = 19\).

Độ dài mỗi nhóm \(L > \frac{R}{k} = \frac{{19}}{5} = 3,8\).

Ta chọn \(L = 4\) và chia dữ liệu thành các nhóm: \(\left[ {10;14} \right),\left[ {14;18} \right),\left[ {18;22} \right),\left[ {22;26} \right),\left[ {26;30} \right)\).

Khi đó ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Tham khảo:

Do số quyển sách là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

Số sách trung bình được mượn mỗi ngày sau khi ghép nhóm là:

\(\bar x = \frac{{3.18 + 6.23 + 15.28 + 27.33 + 22.38 + 14.43 + 5.48}}{{92}} \approx 34,6\)

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\left[ {30,5;35,5} \right)\).

Do đó: \({u_m} = 30,5;{n_{m - 1}} = 15;{n_m} = 27;{n_{m + 1}} = 22;{u_{m + 1}} - {u_m} = 35,5 - 30,5 = 5\)

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 30,5 + \frac{{27 - 15}}{{\left( {27 - 15} \right) + \left( {27 - 22} \right)}}.5 \approx 34\)

Vậy số lượng sách được mượn mỗi ngày cao nhất là 35 quyển.

Tham khảo:

a)

b) Cỡ mẫu \(n = 60\)

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\). Do \({x_{15}},\;{x_{16}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {40;50} \right)\) nên nhóm náy chứa \({Q_1}\). Do đó,

\(p = 5;\;\;{a_5} = 40;\;\;{m_5} = 15;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} = 1 + 2 + 4 + 6 = 13;\;{a_6} - {a_5} = 10\)

Ta có  \({Q_1} = 40 + \frac{{\frac{{60}}{4} - 13}}{{15}} \times 10 = 41,33\)

Ý nghĩa: Có 25% số giá trị nhỏ hơn 41,33

Tứ phân vị thứ hai, \({M_e}\) là \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do \({x_{30}};\;{x_{31}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {50;60} \right)\) nên nhóm này chứa \({M_e}\). Do đó,

\(p = 6;\;\;{a_6} = 50;\;\;{m_6} = 12;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} + {m_5} = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 = 13;\;{a_7} - {a_6} = 10\)

Ta có: \({Q_2} = 50 + \frac{{\frac{{60}}{2} - 28}}{{12}} \times 10 = 51,66\)

Ý nghĩa: Có 50% số giá trị nhỏ hơn 51,66

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}\). Do \({x_{45}},\;{x_{46}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {60;70} \right)\) nên nhóm náy chứa \({Q_3}\). Do đó,

\(p = 7;\;\;{a_7} = 60;\;\;{m_7} = 10;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} + {m_5} + {m_6} = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 + 12 = 40; {a_8} - {a_7} = 10\).

Ta có: \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{60 \times 3}}{4} - 40}}{{10}} \times 10 = 65\)

Ý nghĩa: Có 75% số giá trị nhỏ hơn 65.

Tham khảo:

a) Sắp xếp lại dãy số liệu theo thứ tự không giảm:

Số trung bình của số liệu là: \(\bar x \approx 15821,87\)

Tứ phân vị thứ nhất là: \({x_8} = 15139\)

Tứ phân vị thứ hai là: \({x_{16}} = 15685\)

Tứ phân vị thứ ba là: \({x_{24}} = 16586\)

Mẫu số liệu có 1 giá trị ngoại lệ.

b)

c) Ta có:

• Số ca nhiễm mới SARS-CoV-2 trung bình trong tháng 12/2021 tại Việt Nam là:

\(\bar x = \frac{{14.14,74 + 14.16,25 + 2.17,75 + 0.19,25 + 1.20,75}}{{31}} \approx 15,81\)

• Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{31}}\) số ca nhiễm mới SARS-CoV-2 mỗi ngày trong tháng 12/2021 tại Việt Nam được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1},...,{x_{14}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {14;15,5} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array};{x_{15}},...,{x_{28}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {15,5;17} \right)}\end{array}}\end{array};{x_{29}},{x_{30}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {17;18,5} \right)}\end{array};{x_{31}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {20;21,5} \right)}\end{array}}\end{array}\)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \({x_{16}}\)

Ta có: \(n = 31;{n_m} = 14;C = 14;{u_m} = 15,5;{u_{m + 1}} = 17\)

Do \({x_{16}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {15,5;17} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 15,5 + \frac{{\frac{{31}}{2} - 14}}{{14}}.\left( {17 - 15,5} \right) \approx 15,66\)

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \({x_8}\).

Ta có: \(n = 31;{n_m} = 14;C = 0;{u_m} = 14;{u_{m + 1}} = 15,5\)

Do \({x_8} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {14;15,5} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 14 + \frac{{\frac{{31}}{4} - 0}}{{14}}.\left( {15,5 - 14} \right) \approx 14,83\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \({x_{24}}\).

Ta có: \(n = 31;{n_j} = 14;C = 14;{u_j} = 15,5;{u_{j + 1}} = 17\)

Do \({x_{24}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {15,5;17} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 15,5 + \frac{{\frac{{3.31}}{4} - 14}}{{14}}.\left( {17 - 15,5} \right) \approx 16,49\)