Lời giải:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{100}=a\Rightarrow 9a+1=1\underbrace{000...0}_{100}\)

Khi đó:
\(\underbrace{1111....1}_{100}\underbrace{222....2}=\underbrace{111...1}_{100}\times 1\underbrace{00...0}_{100}+\underbrace{222....2}_{100}\)

\(a(9a+1)+2a=9a^2+3a=3a(3a+1)\) là tích của 2 số
 tự nhiên liên tiếp $3a, 3a+1$

Ta có đpcm.

1)Ta có:

\(111...11222...22\left(100 cs 1 v\text{à} 2\right)=10^{100}.111...111\left(100 cs 1\right)+222...22\left(100 cs 2\right)\)

\(=10^{100}.\frac{10^{100}-1}{9}+2.\frac{10^{100}-1}{9}=\frac{10^{100}\left(10^{100}-1\right)+2\left(10^{100}-1\right)}{9}=\frac{\left(10^{100}+2\right)\left(10^{100}-1\right)}{9}=\frac{10^{100}+2}{3}.\frac{10^{100}-1}{3}\)

\(M\text{à} \frac{10^{100}+2}{3}\ne\frac{10^{100}-1}{3} \)

\(\Rightarrow111...11222..2\left(100 cs 1 v\text{à} 2\right) \) không phải là tích 2 số tự nhiên

2) Để dacb chia hết cho 4 thì cb chia hết cho 4

Ta có :

cb=10c+b=8c+2c+b

Mà 8c chia hết cho 4 nên

2c+b cũng phải chia hết cho 4(đpcm)

1111...12222...2

(100 c/s 1)(100 c/s 2)

= 1111....1000...0 + 2222...2

(100 c/s 1)(100 c/s 0)(100 c/s 2)

= 1111...1 x 1000...0 + 1111...1 x 2

(100 c/s 1)   (100 c/s 0)(100 c/s 1)

= 1111...1 x (1000...0 + 2)

(100 c/s 1) (100 c/s 0)

= 1111...1 x 1000...02

(100 c/s 1) (99 c/s 0)

= 1111...1 x 3 x 3333...34

(100 c/s 1)       (99 c/s 3)

= 3333...3 x 3333...34

(100 c/s 3)   (99 c/s 3)

Chứng tỏ ...

Chú ý: từ bài này ta có thể phát triển thành bài nâng cao như sau: chứng tỏ rằng số 1111...12222...2 là tích 2 số nguyên liên tiếp

                                                                                                                          (n c/s 1)(n c/s 2)

Trông câu hỏi tương tuewj cũng có dạng nay

bạn tham khảo ở đó nhé

Đặt  \(P=111...111222...222\), ta có:

\(P=111...111222...222\)  (có \(100\)  số  \(1\)  và  \(100\)  số  \(2\) )

     \(=111...111000...000+222...222\)  (có   \(100\)  số  \(1\),  \(100\)  số  \(0\)  và  \(100\)  số  \(2\) )

     \(=111...111.10^{100}+2.111...111\)  

\(P=111...111\left(10^{100}+2\right)\)  

Đặt  \(111...111=k\), \(\Rightarrow\)  \(9k=999...999\)  (có  \(100\)  số  \(9\) ) nên  \(9k+1=1000...000=10^{100}\) 

Do đó,  \(P=k\left(9k+1+2\right)=k\left(9k+3\right)=3k\left(3k+1\right)\)

Mà  \(3k\)  và  \(3k+1\)  lại là  \(2\)  số tự nhiên liên tiếp nên suy ra điều phải chứng minh.