2/ Ta chú ý cái này:
\(10^{100}=999...999+1=9.111...111+1\)
\(222...222=2.111...111\)
Ta đặt \(111...111=n\)
\(\Rightarrow111...111222...222=111...111.10^{100}+222...222\)
\(=111...111.\left(9.111...111+1\right)+2.111...111\)
\(=n\left(9n+1\right)+2n=9n^2+3n=3n\left(3n+1\right)\)
Vậy \(111...111222...222\)là tích của 2 số tự nhiên liến tiếp
1/ Ta có: \(p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\) là tích của 2 số chẵn liên tiếp
\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\left(1\right)\)
Vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p có 2 dạng là: \(\orbr{\begin{cases}3k+1\\3k+2\end{cases}}\)
Với \(p=3k+1\)
\(\Rightarrow p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=9k^2+6k=3k\left(3k+2\right)⋮3\)
Với \(p=3k+1\)
\(\Rightarrow p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1=9k^2+12k+3=3\left(3k^2+4k+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow p^2-1⋮3\left(2\right)\)
Vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2)
\(\Rightarrow p^2-1⋮\left(3.8=24\right)\)
ta chú ý
\(^{10^{100}}=999....999+1=9.111....111+1\)
\(222...222=2.111...111\)
Ta đặt :\(111...111=b\)
\(\Rightarrow111...111222...222=111...111.10^{100}+222...222\)
\(=111.111.\left(9.111...111+1\right)+2.111...111\)
\(=b\left(9b+1\right)+2b=9n^2-3b=3b\left(3b+1\right)\)
Vậy\(111...111222...222\)là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp
p^2-1=(p-1)(p+1)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
(p−1)(p+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp
⇒(p−1)(p+1)⋮8(1)
Vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p có 2 dạng là: [
| 3k+1 |
| 3k+2 |
Với p=3k+1
⇒p2−1=(3k+1)2−1=9k2+6k=3k(3k+2)⋮3
Với p=3k+1
⇒p2−1=(3k+2)2−1=9k2+12k+3=3(3k2+4k+1)⋮3
⇒p2−1⋮3(2)
Vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2)
1 .
Vì p> 3 nên p là 1 số lẻ .Đặt p=2k+1 , khi đó p2 -1 = ( 2k +1)2 -1 =4k(k+1) chia hết cho 8 vì k(k+1) chia hết cho 2
Lại có p không chia hết cho3 nên pchia 3 dư 1 hoặc 2 ,vậy p2-1 =(p-1)(p+1)
Do đó p2-1 chia hết cho 3.8= 24
a ta có p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ \(\Rightarrow\)\(p^2\)chia 3 dư 1=>p^2-1 chia hết cho 3
mặt khác: p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ => p^2 chia 8 dư 1=>p^2-1 chia hết cho 8
mà (3;8)=1 nên p^2-1 chia hết cho 24(dpcm)
