Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các tia OA, OB, OC sao cho \(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OB}}{{ON}} = \frac{{OC}}{{OP}} = \frac{2}{3}\). Chứng minh \(\Delta ABC \backsim\Delta MNP\).
Cho điểm O nằm trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác ABC lần lượt tại A', B', C'.
a) Chứng minh: \(\frac{OA'}{AA'} + \frac{OB'}{BB'} + \frac{OC'}{CC'} = 1.\)
b) Cho M=\(\frac{OA}{OA'} + \frac{OB}{OB'} + \frac{OC}{OC'}\) . Tìm GTNN của M
cho điểm O thuộc miền tam giác ABC. các tia OA,OB,OC cắt các cạnh của tam giác ABC lần lượt tại A',B',C'. chứng minh rằng
a) \(\frac{OA'}{AA'}+\frac{OB'}{BB'}+\frac{OC'}{CC'}=1\)
kẻ đường cao AH có: \(\frac{OA'}{AA'}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\), ta có:
\(\frac{OB'}{BB'}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{OC'}{CC'}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{OA'}{AA'}+\frac{OB'}{BB'}+\frac{OC'}{CC'}=\frac{S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\) (đpcm)
Nguồn: HiệU NguyễN
Cho tam giác ABC , O nằm trong tam giác đó. Các tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{\frac{AM}{OA}}+\sqrt{\frac{BN}{OB}}+\sqrt{\frac{CP}{OC}}\ge\frac{3\sqrt{6}}{2}\)
\(\sqrt{\frac{OM}{AM}}+\sqrt{\frac{ON}{BN}}+\sqrt{\frac{OP}{CP}}\ge\sqrt{3}\)
Đã chứng minh:
\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\)
\(\frac{OA}{AM}+\frac{OB}{ON}+\frac{OC}{OP}\ge6\)
\(\frac{AM}{OA}+\frac{BN}{OB}+\frac{CP}{OC}\ge\frac{9}{2}\)
\(\frac{OM}{OA}+\frac{ON}{OB}+\frac{OP}{OC}\ge\frac{3}{2}\)
( bài toán cực trị trong hình học).
a. Đặt \(S_{AOB}=c^2;S_{BOC}=a^2;S_{COA}=b^2\Rightarrow S_{ABC}=a^2+b^2+c^2\)
Ta có \(\frac{AM}{OM}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2}=1+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
Vậy thì \(\frac{OA}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{b^2+c^2}{a^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{OA}{OM}}=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}\)
Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC. Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở M,N,P. Tìm vị trí của điểm O để tích N=\(\frac{OA}{OM}.\frac{OB}{ON}.\frac{OC}{OP}\)đạt giá trị nhỏ nhất
Cho tam giác ABC và điểm O nằm bên trong tam giác đó .M;N;P lần lượt là trung điểm của BC;CA;AB.Trên các tia OM;ON;OP lấy các điểm A';B';C' sao cho M;N;P lần lượt là trung điểm của OA' ;OB';OC'. CM:tam giác ABC=tam giác A'B'C'
PM là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(PM=\frac{1}{2}AC\)
Mà PM cũng là ĐTB của \(\Delta OA'C'\) nên \(PM=\frac{1}{2}A'C'\)
Suy ra: \(AC=A'C'\)
Tương tự, ta có: \(PN=\frac{1}{2}BC,PN=\frac{1}{2}B'C'\Rightarrow BC=B'C'\)
\(MN=\frac{1}{2}AB,MN=\frac{1}{2}A'B'\Rightarrow AB=A'B'\)
Vậy \(\Delta ABC=\Delta A'B'C'\left(c.c.c\right)\)
Chúc bạn học tốt.
Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. Trên OA, OB, OC lần lượt lấy M, N, P sao cho OM=1/3OA; ON=1/3OB; OP=1/3OC. Chứng minh tam giácMNP ∽tam giácABC.
Xét ΔOAB có
M∈OA(gt)
N∈OB(gt)
\(\dfrac{OM}{OA}=\dfrac{ON}{OB}\left(=\dfrac{1}{3}\right)\)
Do đó: MN//AB(Định lí Ta lét đảo)
Xét ΔOAB có
M∈OA(gt)
N∈OB(gt)
MN//AB(cmt)
Do đó: \(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{OM}{OA}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)
⇔\(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{1}{3}\)(1)
Xét ΔAOC có
M∈OA(gt)
P∈OC(gt)
\(\dfrac{OM}{OA}=\dfrac{OP}{OC}\left(=\dfrac{1}{3}\right)\)
Do đó: MP//AC(Định lí Ta lét đảo)
Xét ΔOAC có
M∈OA(gt)
P∈OC(gt)
MP//AC(cmt)
Do đó: \(\dfrac{MP}{AC}=\dfrac{OM}{OA}\)(Hệ quả của Định lí ta lét)
hay \(\dfrac{MP}{AC}=\dfrac{1}{3}\)(2)
Xét ΔOBC có
N∈BO(gt)
P∈CO(gt)
\(\dfrac{ON}{OB}=\dfrac{OP}{OC}\left(=\dfrac{1}{3}\right)\)
Do đó: NP//BC(Định lí Ta lét đảo)
Xét ΔOBC có
N∈BO(gt)
P∈CO(gt)
NP//BC(cmt)
Do đó: \(\dfrac{NP}{BC}=\dfrac{ON}{OB}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)
⇔\(\dfrac{NP}{BC}=\dfrac{1}{3}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{MP}{AC}=\dfrac{NP}{BC}\)
Xét ΔMNP và ΔABC có
\(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{MP}{AC}=\dfrac{NP}{BC}\)(cmt)
Do đó: ΔMNP∼ΔABC(C-c-c)
Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Trên tia OM, ON, OP lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA’, OB’, OC’. Chứng mình rằng tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’.
Cho tam giác ABC ,O là điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại D,E,F. Chứng minh rằng:
\(\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{BF}=2\)
Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kì trong tam giác. Các tia AO, Bo, Co cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R.
Chứng minh \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}\ge8\)