b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

\(\tan\widehat{B}=\frac{AH}{BH}=\frac{AH}{5}\)

\(\tan\widehat{C}=\frac{AH}{HC}=\frac{AH}{20}\)

=> \(\frac{\tan\widehat{B}}{\tan\widehat{C}}=\frac{AH}{5}:\frac{AH}{20}=4\Rightarrow\tan\widehat{B}=4.\tan\widehat{C}\)

\(AB^2=BH.BC\) (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{100^2}{5}=2000\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=BC-HB=2000-5=1995\left(cm\right)\)

\(AH^2=BH.HC\Leftrightarrow AH^2=1995.5\Leftrightarrow AH=5\sqrt{399}\)

\(tanB=\dfrac{AH}{HB}\)

\(tanC=\dfrac{AH}{HC}\)

\(\)\(\Rightarrow\dfrac{tanB}{tanC}=\dfrac{HC}{HB}=\dfrac{1995}{5}=399\)

\(\Rightarrow tanB=399.tanC\left(đpcm\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\) \(\)

a: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AD\cdot AC\)

a: \(AH=2\sqrt{6}\left(cm\right)\)

\(AB=2\sqrt{10}\left(cm\right)\)

\(AC=2\sqrt{15}\left(cm\right)\)

Áp dụng Py-ta-go ta có

AH^2=AB^2-BH^2=>AH=5căn3

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

AH^2=BH*HC=>HC=AH^2/BH=15

=>tanB=5căn3/5=căn3

tanC=5căn3/15

=>3tanC=5căn3/15*3=căn3

nên tanB=3tanC

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=HB\cdot HC\\AC^2=CH\cdot BC\\AB^2=BH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=2\sqrt{6}\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{15}\left(cm\right)\\AB=2\sqrt{10}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Giải ra đi