3:

ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên AM*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC

a, Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH 

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow AC^2=BC^2-AC^2=100-36=64\Leftrightarrow AC=8\)cm

* Áp dụng hệ thức : 

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}\)cm

* Áp dụng hệ thức : 

\(AH^2=CH.BH\)mà \(BC-BH=CH\Rightarrow CH=10-\frac{18}{5}=\frac{32}{5}\)cm 

\(\Rightarrow AH^2=\frac{32}{5}.\frac{18}{5}=\frac{576}{25}\Rightarrow AH=\frac{24}{5}\)cm 

Chu vi tam giác ABC là : \(P_{ABC}=AB+AC+BC=6+10+8=24\)cm 

Diện tích tam giác ABC là : \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.6.8=24\)cm²

b, Ta có AD là phân giác nên : \(\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{CD}\)( t/c )

\(\Rightarrow\frac{CD}{BC}=\frac{BD}{AB}\)( tỉ lệ thức )

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{CD}{BC}=\frac{BD}{AB}=\frac{CD+BD}{AB+BC}=\frac{BC}{16}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{6}=\frac{1}{2}\Rightarrow BD=3\)cm 

\(\Rightarrow HD=BH-BD=\frac{18}{5}-3=\frac{3}{5}\)cm 

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ADH vuông tại H ta có : 

\(AD^2=HD^2+AH^2=\frac{9}{25}+\frac{576}{25}=\frac{585}{25}\Rightarrow AD=\frac{3\sqrt{65}}{5}\)cm

a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC có : 

AB² + AC² = BC²

=> AC² = BC² - AB² = 10² - 6² = 64

=> AC = 8

Xét tam giác ABH và tam giác BCA có

\(\hept{\begin{cases}\widehat{ABC}\text{ chung }\\\widehat{BAC}=\widehat{AHB}\left(=90^{\text{o}}\right)\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABH\approx\Delta BCA\left(g-g\right)\)

=> \(\frac{AH}{AB}=\frac{BH}{AC}=\frac{AB}{BC}\)

=> \(\frac{AH}{6}=\frac{BH}{8}=\frac{6}{10}\)

=> \(AH=3,6;BH=4,8\)

a.Xét tam giác ANH và tam giác AHC, có:

\(\widehat{ANH}=\widehat{AHC}=90^0\)

\(\widehat{NAH}=\widehat{HCA}\) ( cùng phụ với \(\widehat{A}\) )

Vậy tam giác ANH đồng dạng tam giác AHC ( g.g )

b. Xét tam giác AHB và tam giác ABC, có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHB}=90^0\)

\(\widehat{B}:chung\)

Vậy tam giác AHB đồng dạng tam giác ABC ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{BH}{AB}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{12}{13}=\dfrac{BH}{15}\)

\(\Leftrightarrow13BH=180\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{180}{13}cm\)

Xét tam giác AHC và tam giác ABC, có:

\(\widehat{CAB}=\widehat{CHA}=90^0\)

\(\widehat{C}:chung\)

Vậy tam giác AHC đồng dạng tam giác ABC ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{CH}{AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{12}{15}=\dfrac{CH}{13}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{4}{5}=\dfrac{CH}{13}\)

\(\Leftrightarrow5CH=52\)

\(\Leftrightarrow CH=\dfrac{52}{5}cm\)

a, \(\Delta ABC,\hat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\)(định lý Py-ta-go)

\(\Leftrightarrow10^2=6^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=64\)

\(\Leftrightarrow AC=8\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào \(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o, AH\perp BC\) ta có:

\(AB^2=BH.BC\Leftrightarrow6^2=BH.10\Leftrightarrow BH=3,6\left(cm\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{25}{576}\)\(\Leftrightarrow AH^2=\frac{576}{25}\Leftrightarrow AH=4,8\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác ABC: 6 + 10 + 8 = 24 (cm)

Diện tích tam giác ABC: \(\frac{4,8.10}{2}=24\left(cm^2\right)\)

2 câu kia mình nghĩ sau

Mình tạm làm câu c trước, câu b mình chưa nghĩ ra

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào \(\Delta AHB, \hat{AHB}=90°, HM \perp AB\) và \(\Delta AHC, \hat{AHC}=90°, HN \perp AC\) ta có:

\(AH^2=AM.AB\) (1)

\(AH^2= AN.AC\) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\)AM.AB = AN.AC

a: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

XétΔABC vuông tại A có \(\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{C}\simeq37^0\)

=>\(\widehat{B}\simeq53^0\)

b: \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=2.4\left(cm\right)\)

\(HB=\dfrac{BA^2}{BC}=\dfrac{3^2}{5}=1.8\left(cm\right)\)

HC=BC-HB=3,2(cm)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHCA vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

d: Xét tứgiác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

Xét (AH/2) có

\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(\widehat{AHM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

DO đó: \(\widehat{ANM}=\widehat{AHM}=\widehat{B}\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên AE=CE
=>\(\widehat{EAC}=\widehat{C}\)

\(\widehat{ANM}+\widehat{EAC}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>AE\(\perp\)MN

tự vẽ hình nha bn

a. Ta có: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)(Theo định lí Pytago, tam giác ABC vuông tại A)

b. Ta có: \(\frac{BH}{CH}=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{BH+CH}{CH}=\frac{3}{4}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{BC}{CH}=\frac{7}{4}\)\(\Leftrightarrow\frac{5}{CH}=\frac{7}{4}\)\(\Leftrightarrow CH=\frac{5.4}{7}=\frac{20}{7}\)

\(\Rightarrow BH=5-\frac{20}{7}=\frac{15}{7}\)

c,d bạn giải giùm mình được không

a: \(BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

XétΔABC vuông tại A có \(\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

nên \(\widehat{C}\simeq37^0\)

=>\(\widehat{B}\simeq53^0\)

b: \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=2.4\left(cm\right)\)

\(HB=\dfrac{BA^2}{BC}=\dfrac{3^2}{5}=1.8\left(cm\right)\)

HC=BC-HB=3,2(cm)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHCA vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

d: Xét tứgiác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

Xét (AH/2) có

\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(\widehat{AHM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

DO đó: \(\widehat{ANM}=\widehat{AHM}=\widehat{B}\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên AE=CE
=>\(\widehat{EAC}=\widehat{C}\)

\(\widehat{ANM}+\widehat{EAC}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>AE\(\perp\)MN