a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

Ta đặt: \(3^n+19=a^2\)     (Với a thuộc N)

TH1: Nếu n lẻ thì ta cho \(n=2m+1\)=> \(3^n+19=3^{2m+1}+19=9^m.3+19\)

Có \(9^m\)chia 4 dư 1 => \(9^m.3\)chia 4 dư 3 => \(9^m.3+19\): 4 dư 2

=> \(a^2\)chia 4 dư 2. Nma đây là 1 điều cực vô lí do 1 SCP chỉ : 4 dư 0 hoặc 1

=> n phải chẵn => \(n=2k\)

=> \(9^k+19=a^2\)

<=> \(\left(a-3^k\right)\left(a+3^k\right)=19\)

=> \(a-3^k;a+3^k\)đều là Ư(19). Do \(a-3^k;a+3^k\)là 2 số cùng dấu và \(a+3^k>0\)

=> \(a-3^k>0\)   . Và ta còn thấy do a; k thuộc N nên \(a-3^k< a+3^k\)

=> Ta chỉ xét duy nhất 1 TH là: \(a-3^k=1;a+3^k=19\)

=> Cộng lại ta đc: \(2a=20\)    <=> \(a=10\)    <=> \(n=4\)

Vậy n có nghiệm duy nhất là 4 thì \(3^n+19\) là 1 SCP.

Đặt \(A=3^n+19\)

Ta thấy : \(3^n\) lẻ => \(3^n+19\) chẵn . Nên để A là SCP thì A phải chia hết cho 4

Mà 19 : 4 dư 3 => 3ⁿ chia 4 dư 1 ( 1 )

+) Nếu n lẻ = 2a + 1 ( a chẵn ) thì \(3^{2a+1}=3.3^{2a}=3.\left(3^2\right)^a=3.9^a=3.\left(8+1\right)^a\) chia 4 dư 3 trái với khẳng định ( 1 )

Vậy phải chẵn và có dạng 2k

Ta có : \(A=3^{2k}+19\)

+) Nếu k = 0 => A = 20 không phải là SCP ( loại )

+) Nếu k = 1 => A = 28 không phải là SCP ( loại )

+) Nếu k = 2 => A = 100 là SCP ( chọn )

+) Nếu k lớn hơn hoặc bằng 3 thì \(\left(3^k\right)^2< A=\left(3^k\right)^2+19< \left(3^k\right)^2+6k+1=\left(3^k+1\right)^2\)

Vì A nằm giữa 2 SCP liên tiếp 3^k và 3^k + 1 nên A không thể là SCP => Loại

Vậy với duy nhất  n = 2k = 4 thì 3ⁿ + 19 là số chính phương

hello

Bài nè không bít có được vào CÂU HỎI HAY của OLM không?

1./ Dễ thấy: \(A=3^n+19\)là 1 số chẵn. Nên để A là số chính phương thì A phải chia hết cho 4.

19 chia 4 dư 3 => \(3^n\)chia 4 dư 1 (1)

2./ Bài toán trở thành tìm k để: \(A=3^{2k}+19\)là số chính phương.

Viết lại A ở dạng: \(A=\left(3^k\right)^2+19\)

\(\left(3^k\right)^2< \left(3^k\right)^2+19=A< \left(3^k\right)^2+2\cdot3^k+1=\left(3^k+1\right)^2\)

A kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp 3^k và 3^k + 1 nên A không phải là số chính phương.

3./ Kết luận, với duy nhất n = 2k = 4 thì 3ⁿ + 19 là số chính phương.