a: ĐKXĐ: x>=0; x<>1

b \(A=\left(\dfrac{2\sqrt{x}+x}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{x\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)

c: Khi x=9-4 căn 5 thì \(A=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2+2}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

d: căn x+2>=2

=>A<=1/2

Dấu = xảy ra khi x=0

`A=sqrt{x-2}+sqrt{6-x}(2<=x<=6)`
Áp dụng BĐT `sqrtA+sqrtB>=sqrt{A+B}`
`=>A>=sqrt{x-2+6-x}=2`
Dấu "=" `<=>x=2` hoặc `x=6`
Áp dụng BĐT bunhia
`=>A<=sqrt{2(x-2+6-x)}=2sqrt2`
Dấu "=" `<=>x=4`
`C=sqrt{1+x}+sqrt{8-x}(-1<=x<=8)`
Áp dụng BĐT `sqrtA+sqrtB>=sqrt{A+B}`
`=>A>=sqrt{1+x+8-x}=3`
Dấu "=" `<=>x=-1` hoặc `x=8`
Áp dụng BĐT bunhia
`=>A<=sqrt{2(1+x+8-x)}=3sqrt2`
Dấu "=" `<=>x=7/2`

`D=2sqrt{x+5}+sqrt{1-2x}(-5<=x<=1/2)`
`=sqrt{4x+20}+sqrt{1-2x}`
Áp dụng BĐT `sqrtA+sqrtB>=sqrt{A+B}`
`=>D>=sqrt{4x+20+1-2x}=sqrt{2x+21}`
Mà `x>=-5`
`=>D>=sqrt{-10+21}=sqrt{11}`
Dấu "=" `<=>x=-5`

Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Lại có BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\left(a+b=1\right)\)

Cộng theo vế 2 BĐT trên có:

\(P=a^2+b^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Bài 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT^2=\left(x-1\right)+\left(3-x\right)+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(\le2+\left(x-1\right)+\left(3-x\right)=4\)

\(\Rightarrow VT^2\le4\Rightarrow VT\le2\left(1\right)\). Lại có:

\(VP=x^2-4x+4+2=\left(x-2\right)^2+2\ge2\left(2\right)\)

Từ (1);(2) xảy ra khi 

\(VT=VP=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2+2=2\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\) (thỏa)

Vậy x=2 là nghiệm của pt

2. \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=x^2-4x+6\)

Điều kiện : \(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\3-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}1\le x\le3\left(1\right)\)

(Nháp nhé : dễ thấy phương trình có nghiệm \(x=2\) nên ta sẽ thêm bớt để có \(\left(x-2\right)\)là nhân tử chung )

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1+\sqrt{3-x}-1=x^2-4x+4\)

nhân liên hợp có :

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-1}-1\right)\left(\sqrt{x-1}+1\right)}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}+\frac{\left(\sqrt{3-x}+1\right)\left(\sqrt{3-x}-1\right)}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}=\left(x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}+\frac{-\left(x-2\right)}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}=\left(x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\frac{1}{\left(\sqrt{x-1}+1\right)}-\frac{1}{\left(\sqrt{3-x}+1\right)}-\left(x-2\right)\right]=0\)

\(R=\left(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{3x-5\sqrt{x}}{4-x}\right):\left(\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-1\right)\left(ĐK:x\ge0,x\ne4\right)\\ =\left(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{3x-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}^2-2^2}\right):\dfrac{2\sqrt{x}-1-\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)+3x-5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+2}\\ =\dfrac{3x-6\sqrt{x}+x+2\sqrt{x}+3x-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}.\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{7x-9\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

Bạn xem lại đề nhé, rút gọn thường ra kết quả rất đẹp chứ không dài như kết quả này đâu ạ.

Giúp với ạ mình cảm ơn ai làm được mình cho 100sao 

20=890=869=9986=8676=855=648