a) 

Vì BN = DQ , AD = BC => AD - DQ = BC - BN hay AQ = NC 

Xét tam giác AQM và CNP có:

\(\hept{\begin{cases}AQ=CN\\AM=CP\\\widehat{QAM}=\widehat{NCP}\left(doABCDl\text{à}hbh\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta AQM=\Delta CNP\left(c.g.c\right)\Rightarrow QM=NP\)

Hoàn toàn tương tự: △MBN=△PDQ(c.g.c)⇒MN=PQ

Tứ giác MNPQMNPQ có 2 cặp cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.

=> MNPQ là hình bình hành.

b) Gọi K là giao điểm của AC và MP

Xét tam giác AKM và CKP ta có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{KAM}=\widehat{KCP}\left(slt\right)\\\widehat{KMA}=\widehat{KPC\left(slt\right)}\\\Rightarrow AM=CP\end{cases}}\) 

\(\Rightarrow\Delta AKM=\Delta CKP\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AK=CK;KM=KP\left(1\right)\)

Vì ABCDABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC,BDAC,BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tương tự, MNPQMNPQ là hình bình hành nên MP,QNMP,QN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà từ (1)(1) suy ra KK là trung điểm của AC,MPAC,MP, do đó KK cũng là trung điểm của BD,QNBD,QN

Do đó AC,BD,MP,NQAC,BD,MP,NQ đồng quy tại (trung điểm) KK.

a) Chứng minh được MBPD và BNDQ đều là hình bình hành Þ ĐPCM.

b) Áp dụng định lý Talet đảo cho DABD và DBAC tacos MQ//BD và MN//AC.

Mà ABCD là hình thoi nên AC ^ BD Þ MQ ^ MN

MNPQ là hình chữ nhật vì có các góc ở đỉnh là góc vuông

giúp mình với nha 

Câu 3:

Xét ΔMDC có AB//CD

nên MA/MD=MB/MC(1)

Xét ΔMDK có AI//DK

nên AI/DK=MA/MD(2)

Xét ΔMKC có IB//KC

nên IB/KC=MB/MC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AI/DK=IB/KC=MI/MK

Vì AI//KC nên AI/KC=NI/NK=NA/NC

Vì IB//DK nên IB/DK=NI/NK

=>AI/KC=IB/DK

mà AI/DK=IB/KC

nên \(\dfrac{AI}{KC}\cdot\dfrac{AI}{DK}=\dfrac{IB}{DK}\cdot\dfrac{IB}{DC}\)

=>AI=IB

=>I là trung điểm của AB

AI/DK=BI/KC

mà AI=BI

nên DK=KC

hay K là trung điểm của CD

Xét ΔMBN và ΔPDQ có

MB=PD

góc B=góc D

BN=DQ

=>ΔMBN=ΔPDQ

=>MN=PQ

Xét ΔAMQ và ΔCPN có

AM=CP

góc A=góc C

AQ=CN

=>ΔAMQ=ΔCPN

=>MQ=PN

mà MN=PQ

nên MNPQ là hình bình hành

Câu 3: 

Xét ΔMDC có AB//CD

nên MA/MD=MB/MC(1)

Xét ΔMDK có AI//DK

nên AI/DK=MA/MD(2)

Xét ΔMKC có IB//KC

nên IB/KC=MB/MC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AI/DK=IB/KC=MI/MK

Vì AI//KC nên AI/KC=NI/NK=NA/NC

Vì IB//DK nên IB/DK=NI/NK

=>AI/KC=IB/DK

mà AI/DK=IB/KC

nên \(\dfrac{AI}{KC}\cdot\dfrac{AI}{DK}=\dfrac{IB}{DK}\cdot\dfrac{IB}{DC}\)

=>AI=IB

=>I là trung điểm của AB

AI/DK=BI/KC

mà AI=BI

nên DK=KC

hay K là trung điểm của CD

a: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b:ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của MN

a) Ta có:-

- M là trung điểm của AB

⇒  AM = MB.

- N là trung điểm của BC

⇒ BN = NC.

- P là trung điểm của CD

⇒ CP = PD.

- Q là trung điểm của DA

⇒ DQ = QA.

Do đó, ta có: AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA.

⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Có:

- I là trung điểm của AC

⇒AI = IC.

- K là trung điểm của BD

⇒ BK = KD.

Do đó, ta có: AI = IC = BK = KD.

⇒ tứ giác INKQ là hình bình hành.

b)Gọi O là giao điểm của MP và NQ ta có:

MP // AB và NQ//CD ( M và N là trung điểm của AB và CD).

⇒ MP song song với NQ.

do đó :O nằm trên MP và NQ.

  Gọi H là giao điểm của MI và NK ta có:

MI // AC và NK // BD (do I và K là trung điểm của đường chéo AC và BD). 

⇒ MI song song với NK.

  Do đó: H nằm trên cả MI và NK.

  Gọi G là giao điểm của OH và BD ta có:

OH //MP và BD // MP (do O nằm trên MP và NQ, và H nằm trên  MI và NK). 

⇒ OH song song với BD.

doo đó: G nằm trên OH và BD.

⇒ I, O, K thẳng hàng.(ĐPCM)

a: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC=1/2

nên MN//AC và MN=1/2AC

Xét ΔDAC có DQ/DA=DP/DC

nên PQ//AC và PQ/AC=DQ/DA=1/2

=>PQ=1/2AC

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔCAB có CI/CA=CN/CB=1/2

nên IN//AB và IN=1/2AB

Xét ΔDAB có DQ/DA=DK/DB=1/2

nên QK//AB và QK=1/2AB

=>IN//QK và IN=QK

=>INKQ là hình bình hành

b: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của NQ

INKQ là hbh

=>IK cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>I,O,K thẳng hàng

a:

ABCD là hình thoi

=>AC vuông góc BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AC vuông góc BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

AM+MB=AB

PC+PD=DC

mà AM=PC và AB=DC

nên MB=PD

Xét tứ giác BMDP có

BM//DP

BM=DP

Do đó: BMDP là hình bình hành

b: Xét tứ giác AQCN có

AQ//CN

AQ=CN

Do đó: AQCN là hình bình hành

=>AC cắt QN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của QN

=>N,O,Q thẳng hàng

c: Xét ΔABD có AM/AB=AQ/AD

nên MQ//BD

=>MQ vuông góc AC

Xét ΔABC có

BM/BA=BN/BC

nên MN//AC

=>MQ vuông góc MN

BMDP là hình bình hành

=>BD cắt MP tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của MP

Xét tứ giác MNPQ có

O là trung điểm chung của MP và NQ

góc NMQ=90 độ

Do đó: MNPQ là hình chữ nhật