Cho tứ giác ABCD nội tiếp trên đường tròn tâm O, S là điểm chính giữa cungAB, SC, SD cách AB ở E và F a) cm: tứ giác CDFE nội tiếp. b)cm: SO là tia phân giác của góc ASD
Cho tứ giác ABCD và đường tròn tâm O ,S là điểm chính giữa của cung AB ,SC,SD cắt AB ở A va E
a: c/m tứ giác CDES nội tiếp
b: DE và CS kéo dài cắt đường tròn tâm O ở M và N . C/M SO vuông góc với MN
Các bạn giúp mình nha!
cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). S là điểm chính giữa của cũng AB . SC và SD cắt AB tại E và F
a CMR tứ giác CDEF nội tiếp
b CMR SO là phần giác góc ASB
c DE và CF kéo dài cắt (O) tại M và N. CMR SO vuông góc với MN
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cung nhỏ AB lấy điểm E ( E ko trùng A và B), F là giao của AB và CE.
a) CM tứ giác FBHE nội tiếp
b) CM \(\widehat{FHA}=\widehat{ADE}\) ???
từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC ( B, C là tiếp điểm ) và cắt tuyến ADE đến đường tròn ( tia AE nằm trong góc OAB và điểm D nằm giữa A và E )CM: tứ giác OHDE nội tiếp đường tròn và HB là tia phân giác của góc DHE
Kẻ tiếp tuyến tại E,D cắt nhau tại T
Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyên
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc BC
=>AH*AO=AB^2
Xét ΔABD và ΔAEB có
góc ABD=góc AEB
góc BAD chung
=>ΔABD đồng đạng với ΔAEB
=>AB/AE=AD/AB
=>AB^2=AE*AD=AH*AO
=>AD/AO=AH/AE
=>ΔADH đồng dạng vơi ΔAOE
=>góc ADH=góc AOE
=>góc DHO+góc DEO=180 độ
=>OHDE là tứ giác nội tiếp(1)
Xét tứ giác OETD có
góc OET+góc OTD=180 độ
=>OETD là tứ giác nội tiếp(2)
Từ (1), (2) suy ra O,E,T,D,H cùng thuộc 1 đường tròn
=>góc EHT=1/2*sđ cung ET; góc THD=1/2*sđ cung TD
ΔOET=ΔODT
=>ET=DT
=>góc EHT=góc DHT
=>HB là phân giác của góc DHE
cho tam giác ABC nhọn và AB nhỏ hơn AC nội tiếp đường tron O. I là tâm đường tròn nột tiếp tma giác ABC, ID vuông góc với BC, AD giao (O) tại G. F là điểm chính giữa cung lớn BC, FG giao ID tại H. CM tứ giác IBHC là tứ giác nội tiếp
. Cho nửa đường tròn tâm o đường kính ab và điểm m bất kì trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ ab chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến ax. Tia bm cắt ax tại i, tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại e, cắt tia bm taib f tia BE cắt Ax tại H cắt AM tạm k.a, cm EFMK nội tiếp. b, cm AI^2=IM. IB. c, cm BAF là tam giác cân. d, cm tứ giác AKFH là hình thoi. e, xác định vị trí m để tứ giác AKFI nội tiếp một đtr
1. Ta có : ÐAMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ÐKMF = 900 (vì là hai góc kề bù).
ÐAEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ÐKEF = 900 (vì là hai góc kề bù).
=> ÐKMF + ÐKEF = 1800 . Mà ÐKMF và ÐKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.
1. Ta có ÐIAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB.
2. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => ÐIAE = ÐMAE => AE = ME (lí do ……)
=> ÐABE =ÐMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)
Theo trên ta có ÐAEB = 900 => BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2).
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .
3. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)
Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác ÐHAK (5)
Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).
Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).
4. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang.
Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân.
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.
Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ÐABM = ÐMAI = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7)
Tam giác ABI vuông tại A có ÐABI = 450 => ÐAIB = 450 .(8)
Từ (7) và (8) => ÐIAK = ÐAIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).
Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Lưu ý – kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.
Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB = 2a, BC = CD = DA = a. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A. Gọi S là một điểm duy nhất thay đổi trên d. (P) là một mặt phẳng qua A vuông góc với SB tại I và cắt SC, SD lần lượt tại J, K.
a) Chứng minh tứ giác BCJI, AIJK là các tứ giác nội tiếp.
b) Gọi O là trung điểm của AB, O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCJI. Chứng minh rằng OO' ⊥ (SBC).
c) Chứng minh rằng khi S thay đổi trên d thì JK luôn luôn đi qua một điểm cố định.
d) Tìm một điểm cách đều các điểm A, B, C, D, I, J, K và tìm khoảng cách đó.
e) Gọi M là giao điểm của JK và (ABCD). Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
f) Khi S thay đổi trên d, các điểm I, J, K lần lượt chạy trên đường nào.
Nhận xét
Hình thang ABCD có hai cạnh bên và đáy nhỏ bằng nhau và bằng nửa đáy lớn, nên nó là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB, tâm O là trung điểm của AB.
Như vậy: ∠(ACB) = ∠(ADB) = 1v.
a) Theo giả thiết, ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC
BC ⊥ SA & BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC. (1)
Mặt khác SB ⊥ (P) nên SB ⊥ IJ (⊂ (P)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCJI là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính BJ.
Ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AJ (⊂ (SAC))
AJ ⊥ BC & AJ ⊥ SB (do SB ⊥ (P)) ⇒ AJ ⊥ (SBC) ⇒ AJ ⊥ JI (⊂ (SBC)) (3)
Lý luận tương tự, ta có:
BD ⊥ AD & BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAD) ⇒ BD ⊥ AK (⊂ (SAD))
AK ⊥ BD & AK ⊥ SB(⊂ (P)) ⇒ AK ⊥ (SBD) ⇒ AK ⊥ KI. (4)
Từ (3) và (4) suy ra AKJI nội tiếp trong đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng (P).
b) Ta có ngay O’ là trung điểm BJ
Vì OO’ là đường trung bình của ΔABJ nên OO’ // AJ
Mà AJ ⊥ (SBC) nên OO’ ⊥ (SBC)
c) Ta có (SCD) ∩ (ABCD) = CD.
Gọi M = JK ∩ CD
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AM(⊂ (ABCD)) (5)
SB ⊥ (P) ⇒ SB ⊥ AM (⊂ (P)) (6)
Từ (5) và (6), ta có: AM ⊥ (SAB) ⇒ AM ⊥ AB.
Suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔABC tại A. Như vậy AM cố định. Vì M = AM ∩ CD nên M cố định.
d) ΔAIB vuông tại I nên OA = OB = OI
ΔAJB vuông tại J (do AJ ⊥ (SBC)) nên OA = OB = OJ).
ΔAKB vuông tại K (do AK ⊥ (SBD)) nên OA = OB = OK).
Ta có OA = OB = OC = OD = OI = OJ = OK nên O là điểm cách đều các điểm đã cho và OA = AB/2 = a.
e) Theo chứng minh câu c.
f) Khi S thay đổi trên d, ta có I luôn nằm trong mặt phẳng (B, d).
Trong mặt phẳng này I luôn nhìn đoạn AB cố định dưới góc vuông nên tập hợp I là đường tròn ( C 1 ) đường kính AB nằm trong mặt phẳng (B, d).
Tương tự, tập hợp J là đường tròn ( C 2 ) đường kính AC nằm trong mặt phẳng (C, d) và tập hợp K là đường tròn đường kính AD nằm trong mặt phẳng (D, d).
Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Gọi C là một điểm di
động trên (O) sao cho C khác A, C khác B và C không nằm chính giữa cung AB . Vẽ
đường kính CD của (O). Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A . Hai đường thẳng BC, BD
cắt d tại E, F.
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn
2) Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE .
Chứng minh : AB = 2.IM
3) Gọi H là trực tâm tam giác DEF . Chứng minh khi điểm C di động trên (O) thì điểm H luôn
chạy trên một đường tròn cố định.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), đường cáo AH, nội tiếp đường tròn (O). M là điểm nằm chính giữa cung AC. Tia BM cắt AC tại E cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại F. OM cát AC tại K
a) CM tứ giác AHOK nội tiếp
b) CM tam giác CEF cân
c) CM OM tiếp xúc vs đg tròn ngoại tiếp tam giác AOB