\(\left(3^{n+1}-2.2^n\right)\left(3.3^n+2^{n+1}\right).3^{2n+2}+\left(8.2^{n-2}.3^{n+1}\right)^2\)

\(=\left(3^{n+1}-2^{n+1}\right)\left(3^{n+1}+2^{n+1}\right).3^{2n+2}+\left(2^{n+1}.3^{n+1}\right)^2\)

\(=\left(3^{2n+2}-2^{2n+2}\right).3^{2n+2}+2^{2n+2}.3^{2n+2}\)

\(=3^{2\left(2n+2\right)}-2^{2n+2}.3^{2n+2}+2^{2n+2}.3^{2n+2}\)

\(=3^{2\left(2n+2\right)}=\left(3^{2n+2}\right)^2\).

Ta thấy \(\left(3^{2n+2}\right)^2\)luôn là 1 số chính phương với mọi n\(\in\)N

Nên ta có ĐPCM.

bon so lien tiep chia het cho 8

A=8k+3 

so chinh phuong le chi co dang 8k+1

A ko cp

Đặt \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+2n+n+2\right)+1\)

Đặt \(n^2+3=t\)

=> \(A=t\left(t+2\right)+1\)

\(=t^2+2t+1\)

\(=\left(t+1\right)^2\)

=> A là số chính phương

Vậy với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\) là số chính phương ( đpcm )
 

n sẽ bằng 2

a) x = [((n + 1)(n + 4)].[(n + 2)(n + 3)] + 1

= (n² + 5n + 4)(n² + 5n + 6) + 1 

= (n² + 5n + 5 - 1)(n² + 5n + 5 + 1) + 1

= (n² + 5n + 5)² - 1² + 1 = (n² + 5n + 5)² (đpcm)

b) y = [n(n + 9)].[(n + 3)(n + 6)] + 81 

= (n² + 9n).(n² + 9n + 18) + 81

= (n² + 9n + 9 - 9)(n² + 9n + 9 + 9) + 81

= (n² + 9n + 9)² - 9² + 81 = (n² + 9n + 9)² (đpcm)

a) \(x=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)    

\(=\left(n+1\right)\left(n+4\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)  

\(=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1\)   ( 1 ) 

Đặt \(t=n^2+5n\)     

\(\left(1\right)\Leftrightarrow=\left(t+4\right)\left(t+6\right)+1\)   

\(=t^2+10+24+1\)    

\(=t^2+10t+25\)          

\(=\left(t+5\right)^2\)      

Vậy x là số chính phương 

b)  \(y=n\left(n+3\right)\left(n+6\right)\left(n+9\right)+81\)          

\(=n\left(n+9\right)\left(n+3\right)\left(n+6\right)+81\)    

\(=\left(n^2+9n\right)\left(n^2+9n+18\right)+81\)    ( 1 ) 

Đặt \(a=n^2+9n\)   

\(\Leftrightarrow\left(1\right)=a\left(a+18\right)+81\)       

\(=a^2+18a+81\)         

\(=\left(a+9\right)^2\)               

Vậy y là số chính phương 

a) Ta có: \(x=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)

        \(\Leftrightarrow x=\left[\left(n+1\right)\left(n+4\right)\right].\left[\left(n+2\right)\left(n+3\right)\right]+1\)

        \(\Leftrightarrow x=\left(n^2+5n+4\right).\left(n^2+5n+6\right)+1\)

   Đặt \(a=n^2+5n+4\)\(\Rightarrow\)\(a+2=n^2+5n+6\)

   Ta lại có: \(x=a.\left(a+2\right)+1\)

           \(\Leftrightarrow x=a^2+2a+1\)

           \(\Leftrightarrow x=\left(a+1\right)^2\)

           \(\Leftrightarrow x=\left(n^2+5n+5\right)^2\)

Vậy x là số chính phương

b) Ta có: \(y=n\left(n+3\right)\left(n+6\right)\left(n+9\right)+81\)

        \(\Leftrightarrow y=\left[n\left(n+9\right)\right]\left[\left(n+3\right)\left(n+6\right)\right]+81\)

        \(\Leftrightarrow y=\left(n^2+9n\right)\left(n^2+9n+18\right)+81\)

    Đặt \(b=n^2+9n\)\(\Rightarrow\)\(b+18=n^2+9n+18\)

    Ta có: \(y=b.\left(b+18\right)+81\)

        \(\Leftrightarrow y=b^2+18b+81\)

        \(\Leftrightarrow y=\left(b+9\right)^2\)

        \(\Leftrightarrow y=\left(n^2+9n+9\right)^2\)

Vậy y là số chính phương

Chúc bn hok tốt