giả sử 2004 số đã cho là:

a₁ bé hơn hoặc bằng a₂bé hơn hoặc bằng.......bé hơn hoặc bằng a₂₀₀₃bé hơn hoặc bằng a₂₀₀₄

Vì tích 3 số bất kỳ luôn luôn dương 

nên trong dãy số có nhiều nhất 2 số âm

a₁;a₂ <0

ta có: a_1.a_2003.a₂₀₀₄ <0

mà đề cho:a_1.a_2003.a₂₀₀₄>0

a₁;a₂ không thể âm

Do vậy 2004 số đã cho phải là số dương

Chia 2004 số thành 668 nhóm , mỗi nhóm 3 số 

Vì tích của 3 số bất kỳ là 1 số dương nên tích các số trong mỗi nhóm là 1 số dương 

=> tích của 668 nhóm là một số dương hay tích của 2004 đều là dương (ĐPCM)

a) Tổng của 4 số là 1 số dương nên chắc chắn trong 4 số đó có 1 số dương

Bớt số dương đó ra => còn lại 12 số . Chia 12 số đó thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 4 chữ số

=> Giá trị mỗi nhóm là số dương => Tổng 12 số đó dương

Cộng với số dương đã bớt ra => tổng của 13 số đã cho dương

Nhìn vào cái này thì thấy cái khác quay, hoa mắt quá !!!

b)  Tích của 3 số bất kì cũng là một số âm => chắc chắn có ít nhất 1 số âm 

=> Bớt số âm đó ra còn lại 12 số. Chia 12 số đó thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 3 số 

Giá trị mỗi nhóm âm => trong đó chắc chắn có 1 số âm và tích của 12 số bất kì là số dương

Có 4 nhóm =>  có 4 số âm nữa => Vậy Có 5 số âm

Còn lại 8 số : Chia thành 2 nhóm (mỗi nhóm 3 số) và 2 số còn lại

Mỗi nhóm ta bớt ra được 1 số âm => ta được 2 số âm nũa

Còn lại 6 số: Chia thành 2 nhóm => ta được 2 số âm nữa

Còn lại 4 số : chia thành một nhóm 3 số và 1 số  mà Tích của 4 số dương , tích của 3 số âm

=> Số còn lại âm. vậy ta bớt được 2 số âm từ 4 số còn lại

=> Còn lại 2 số có tích dương. Có 11 số âm lấy ra từ 13 số => tích của 11 số là âm

Mà tích của 12 bất kì dương => 2 số còn lại phải âm

=> ĐPCM

Trong tất cả các số đã cho có ít nhất 1 số nguyên dương vì nếu trái lại tất cả đều la số nguyên âm thì tổng của 13 số bất kì sẽ là số âm trái với giả thiết.

Tách riêng số dương đó còn lại 12 số chia làm 3 nhóm. Theo đầu bài, mỗi nhóm có tổng là 1 số dương nên tổng của 3 nhóm là 1 số nguyên dương.