#)Giải :

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}\left(3\right)\)

Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được : 

\(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\left(đpcm\right)\)

Ta thấy : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

Mà : \(x^2+y^2=1\)\(\Rightarrow2xy\le1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\le1+1\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow|x+y|\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)\(\left(đpcm\right)\)

Đặt \(\left(\frac{1}{\sqrt{x}};\frac{1}{\sqrt{y}};\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)thì bđt trở thành

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)(đúng)

dấu "=" tại a = b = c <=> x = y = z

áp dụng bđt cauchy:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}.\)

Tượng tự \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}},\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}.\)

=>2VT>=2Vp

<=>VT>=VP

dấu = xảy ra khi x=y=z

By AM-GM we have:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}\)

Cộng theo vế rồi rút gọn là có ĐPCM

Xảy ra khi x=y=z

Theo giả thiết xy + yz + zx = 1 nên ta có: \(VT=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{1}{xy+yz+zx+y^2}+\frac{1}{xy+yz+zx+z^2}=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}+\frac{1}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \(\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^2\le\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right)=\frac{2\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)\(\Rightarrow\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\le\frac{4\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)\)Ta cần chứng minh: \(\frac{2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)\)

hay \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{3}{2}\)

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM - GM do: \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}.\frac{y}{x+y}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}.\frac{z}{z+y}}\le\frac{\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)+\left(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{x+y}\right)+\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)}{2}=\frac{3}{2}\)Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1}\)( Vì xyz=1 nên \(\sqrt{xyz}=1\))

\(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}\right)}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+1+\sqrt{xy}\right)}\)

\(P=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{x}+1+\sqrt{xy}}\)

\(P=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{yz}+\sqrt{y}\right)}\)

\(P=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}=\frac{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}=1\)

tiếp tục câu 2,vì máy bị lỗi nên phải tách ra:

Ta có:\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+xz+yz\right)\right).\)

Dó đó:\(x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+xz\right)+2010\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)^3.\)(2)

TỪ \(\left(1\right),\left(2\right)\)suy ra \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}.\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2010}}{3}\)

2)Ta có:

\(x\left(x^2-yz+2010\right)=x\left(x^2+xy+xz+1340\right)>0\)

Tương tự ta có:\(y\left(y^2-xz+2010\right)>0,z\left(z^2-xy+2010\right)>0\)

Áp dụng svac-xơ ta có:

\(P=\frac{x^2}{x\left(x^2-yz+2010\right)}+\frac{y^2}{y\left(y^2-xz+2010\right)}+\frac{z^2}{z\left(z^2-xy+2010\right)}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}.\)(1)

Xem lại cái đề đi Tuyển. Hình như giá trị nhỏ nhất của cái biểu thức dưới còn lớn hơn là 1 thì làm sao bài đó có giá trị x, y, z thỏa được mà bảo tính A.

đáp án

chia cả 2 vế của giả thiết cho xyz rồi đặt 1/x ; 1/y ; 1/z => a ; b ; c

đến đây thì tự làm tiếp đi