a) Sắp xếp lại dãy số liệu theo thứ tự không giảm:

Tứ phân vị thứ nhất là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right) = \frac{1}{2}\left( {8,9 + 9,2} \right) = 9,05\)

Tứ phân vị thứ hai là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{13}} + {x_{14}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {10,7 + 10,9} \right) = 10,8\)

Tứ phân vị thứ ba là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{18}} + {x_{19}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {12,2 + 12,5} \right) = 12,35\)

b)

c) Tổng số nhân viên văn phòng là: \(n = 3 + 6 + 8 + 7 = 24\).

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{24}}\) là lương tháng của các nhân viên văn phòng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\({x_1},{x_2},{x_3} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {6;8} \right)}\end{array};{x_4},...,{x_9} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8;10} \right)}\end{array};{x_{10}},...,{x_{17}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {10;12} \right)}\end{array};{x_{18}},...,{x_{24}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {12;14} \right)}\end{array}\)

• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{13}} + {x_{14}}} \right)\)

Ta có: \(n = 24;{n_m} = 8;C = 3 + 6 = 9;{u_m} = 10;{u_{m + 1}} = 12\)

Do \({x_{13}},{x_{14}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {10;12} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 10 + \frac{{\frac{{24}}{2} - 9}}{8}.\left( {12 - 10} \right) = 10,75\)

• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right)\).

Ta có: \(n = 24;{n_m} = 6;C = 3;{u_m} = 8;{u_{m + 1}} = 10\)

Do \({x_6},{x_7} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8;10} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 8 + \frac{{\frac{{24}}{4} - 3}}{6}.\left( {10 - 8} \right) = 9\)

• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{18}} + {x_{19}}} \right)\).

Ta có: \(n = 24;{n_j} = 7;C = 3 + 6 + 8 = 17;{u_j} = 12;{u_{j + 1}} = 14\)

Do \({x_{18}},{x_{19}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {12;14} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 12 + \frac{{\frac{{3.24}}{4} - 17}}{7}.\left( {14 - 12} \right) \approx 12,3\)

a) Cự li trung bình của mỗi lần ném là: \(\bar x = 71,6\left( m \right)\).

b)

c)

Cự li trung bình mỗi lần ném sau khi ghép nhóm là:

\(\bar x = \frac{{4.69,6 + 2.70,4 + 7.71,2 + 12.72 + 72,8.5}}{{30}} = 71,52\left( m \right)\)

d) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\left[ {71,6;72,4} \right)\).

Do đó: \({u_m} = 71,6;{n_{m - 1}} = 7;{n_m} = 12;{n_{m + 1}} = 5;{u_{m + 1}} - {u_m} = 72,4 - 71,6 = 0,8\)

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 71,6 + \frac{{12 - 7}}{{\left( {12 - 7} \right) + \left( {12 - 5} \right)}}.0,8 \approx 71,9\left( m \right)\)

Vậy khả năng anh Văn ném được khoảng 71,9 mét là cao nhất.

Tổng số học sinh: \(n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82\)

• Điểm trung bình môn Toán của các học sinh lớp 11 trên là:

\(\bar x = \frac{{8.6,75 + 10.7,25 + 16.7,75 + 24.8,25 + 13.8,75 + 7.9,25 + 4.9,75}}{{82}} = 8,12\)

• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\left[ {8;8,5} \right)\).

Do đó: \({u_m} = 8;{n_{m - 1}} = 16;{n_m} = 24;{n_{m + 1}} = 13;{u_{m + 1}} - {u_m} = 8,5 - 8 = 0,5\)

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 8 + \frac{{24 - 16}}{{\left( {24 - 16} \right) + \left( {24 - 13} \right)}}.0,5 \approx 8,21\)

• Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{82}}\) là điểm của các học sinh lớp 11 được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1},...,{x_8} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {6,5;7} \right)}\end{array};{x_9},...,{x_{18}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {7;7,5} \right)}\end{array};{x_{19}},...,{x_{34}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {7,5;8} \right)}\end{array};{x_{35}},...,{x_{58}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {8;8,5} \right)}\end{array};\\{x_{59}},...,{x_{71}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {8,5;9} \right)}\end{array};{x_{72}},...,{x_{78}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {9;9,5} \right)}\end{array};{x_{79}},...,{x_{82}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {9,5;10} \right)}\end{array}\end{array}\)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{41}} + {x_{42}}} \right)\)

Ta có: \(n = 82;{n_m} = 24;C = 8 + 10 + 16 = 34;{u_m} = 8;{u_{m + 1}} = 8,5\)

Do \({x_{41}},{x_{42}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8;8,5} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 8 + \frac{{\frac{{82}}{2} - 34}}{{24}}.\left( {8,5 - 8} \right) \approx 8,15\)

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \({x_{21}}\).

Ta có: \(n = 82;{n_m} = 16;C = 8 + 10 = 18;{u_m} = 7,5;{u_{m + 1}} = 8\)

Do \({x_{21}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {7,5;8} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 7,5 + \frac{{\frac{{82}}{4} - 18}}{{16}}.\left( {8 - 7,5} \right) \approx 7,58\)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \({x_{62}}\).

Ta có: \(n = 82;{n_j} = 13;C = 8 + 10 + 16 + 24 = 58;{u_j} = 8,5;{u_{j + 1}} = 9\)

Do \({x_{62}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {8,5;9} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 8,5 + \frac{{\frac{{3.82}}{4} - 58}}{{13}}.\left( {9 - 8,5} \right) \approx 8,63\)

a) Do số bệnh nhân là số nguyên nên ta hiệu chỉnh như sau:

Số bệnh nhân đến khám bệnh mỗi ngày trong tháng 4 năm 2022 là:

\(n = 7 + 8 + 7 + 6 + 2 = 30\).

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{30}}\) là số bệnh nhân đến khám bệnh mỗi ngày được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1},...,{x_7} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {0,5;10,5} \right)}\end{array};{x_8},...,{x_{15}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {10,5;20,5} \right)}\end{array};{x_{16}},...,{x_{22}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {20,5;30,5} \right)}\end{array};\\{x_{23}},...,{x_{28}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {30,5;40,5} \right)}\end{array};{x_{29}},{x_{30}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {40,5;50,5} \right)}\end{array}\end{array}\)

• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right)\)

Do \({x_{15}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {10,5;20,5} \right)}\end{array},{x_{16}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {20,5;30,5} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \({Q_2} = 20,5\).

• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \({x_8}\).

Ta có: \(n = 30;{n_m} = 8;C = 7;{u_m} = 10,5;{u_{m + 1}} = 20,5\)

Do \({x_8} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {10,5;20,5} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 10,5 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 7}}{8}.\left( {20,5 - 10,5} \right) = 11,125\)

• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \({x_{23}}\).

Ta có: \(n = 30;{n_j} = 6;C = 7 + 8 + 7 = 22;{u_j} = 30,5;{u_{j + 1}} = 40,5\)

Do \({x_{23}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {30,5;40,5} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 30,5 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - 22}}{6}.\left( {40,5 - 30,5} \right) \approx 31,3\)

b) Do \({Q_3} \approx 31,3\) nên nhận định trên hợp lí.

Tham khảo:

a)

b) Cỡ mẫu \(n = 60\)

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\). Do \({x_{15}},\;{x_{16}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {40;50} \right)\) nên nhóm náy chứa \({Q_1}\). Do đó,

\(p = 5;\;\;{a_5} = 40;\;\;{m_5} = 15;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} = 1 + 2 + 4 + 6 = 13;\;{a_6} - {a_5} = 10\)

Ta có  \({Q_1} = 40 + \frac{{\frac{{60}}{4} - 13}}{{15}} \times 10 = 41,33\)

Ý nghĩa: Có 25% số giá trị nhỏ hơn 41,33

Tứ phân vị thứ hai, \({M_e}\) là \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\). Do \({x_{30}};\;{x_{31}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {50;60} \right)\) nên nhóm này chứa \({M_e}\). Do đó,

\(p = 6;\;\;{a_6} = 50;\;\;{m_6} = 12;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} + {m_5} = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 = 13;\;{a_7} - {a_6} = 10\)

Ta có: \({Q_2} = 50 + \frac{{\frac{{60}}{2} - 28}}{{12}} \times 10 = 51,66\)

Ý nghĩa: Có 50% số giá trị nhỏ hơn 51,66

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}\). Do \({x_{45}},\;{x_{46}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {60;70} \right)\) nên nhóm náy chứa \({Q_3}\). Do đó,

\(p = 7;\;\;{a_7} = 60;\;\;{m_7} = 10;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} + {m_5} + {m_6} = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 + 12 = 40; {a_8} - {a_7} = 10\).

Ta có: \({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{60 \times 3}}{4} - 40}}{{10}} \times 10 = 65\)

Ý nghĩa: Có 75% số giá trị nhỏ hơn 65.

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9   8   15   8   20

Số trung bình: \(\overline X = \dfrac{{9 + 8 + 15 + 8 + 20}}{5} = 12\)

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

8  8  9  15  20

Ta có n=5 là số lẻ nên trung vị là 9.

Mốt: Ta thấy số 8 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 2 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm \({Q_2}\)

Ta có trung vị là 9=> \({Q_2} = 9\).

+ Tìm \({Q_1}\)

Nửa số liệu bên trái là:

8  8

Trung vị của mẫu này là \(\dfrac{{8 + 8}}{2} = 8\)=>\({Q_1} = 8\)

+ Tìm \({Q_3}\)

Nửa số liệu bên phải là:

15  20

Trung vị của mẫu này là \(\dfrac{{15 + 20}}{2} = 17,5\)=>\({Q_3} = 17,5\)

Vậy số trung bình là 12, trung vị là 9 và mốt là 8, \({Q_1} = 8\), \({Q_3} = 17,5\)

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350  300  650  300  450  500  300  250

Số trung bình: \(\overline X ) \( = \dfrac{{350 + 300.3 + 650 + 450 + 500 + 250}}{8}\) \( = 387,5\)

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

250  300  300  300  350  450  500  650

Ta có n=8 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa.

Hai số chính giữa là 300 và 350

=> Trung vị là \(\dfrac{{300 + 350}}{2} = 325\)

Mốt: Ta thấy số 300 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 3 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm \({Q_2}\)

Ta có trung vị là 325=> \({Q_2} = 325\).

+ Tìm \({Q_1}\)

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên trái là:

250  300  300  300

Trung vị của mẫu này là \(\dfrac{{300 + 300}}{2} = 300\)=>\({Q_1} = 300\)

+ Tìm \({Q_3}\)

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên phải là:

350  450  500  650

Trung vị của mẫu này là \(\dfrac{{450 + 500}}{2} = 475\)=>\({Q_3} = 475\)

Vậy số trung bình là 387,5, trung vị là 325 và mốt là 300, \({Q_1} = 300\), \({Q_3} = 475\)

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36  38  33  34  32  30  34  35

Số trung bình: \(\overline X = \dfrac{{36 + 38 + 33 + 34.2 + 32 + 30 + 35}}{8} = 34\)

Trung vị:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

30  32  33  34  34  35  36  38

Ta có n=8 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa.

Hai số chính giữa là 34 và 34

=> Trung vị là 34

Mốt: Ta thấy số 34 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 2 lần)

Tứ phân vị:

+ Tìm \({Q_2}\)

Ta có trung vị là 34=> \({Q_2} = 34\).

+ Tìm \({Q_1}\)

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên trái là:

30  32  33  34

Trung vị của mẫu này là \(\dfrac{{32 + 33}}{2} = 32,5\)=>\({Q_1} = 32,5\)

+ Tìm \({Q_3}\)

Vì n chẵn nên nửa số liệu bên phải là:

34  35  36  38

Trung vị của mẫu này là \(\dfrac{{35 + 36}}{2} = 35,5\)=>\({Q_3} = 35,5\)

Vậy số trung bình là 34, trung vị là 34 và mốt là 34, \({Q_1} = 32,5\), \({Q_3} = 35,5\)

Chú ý

Nếu n chẵn thì nửa số liệu bên trái (phải) \({Q_2}\) phải chứa cả \({Q_2}\)

Số cuộc gọi của người đó trong một tuần là \(n = 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33\).

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{33}}\) là thời gian thực hiện cuộc gọi của người đó trong một tuần được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\({x_1},...,{x_8} \in \left[ {0;60} \right);{x_9},...,{x_{18}} \in \left[ {60;120} \right);{x_{19}},...,{x_{25}} \in \left[ {120;180} \right);{x_{26}},...,{x_{30}} \in \left[ {180;240} \right);\) \({x_{31}},{x_{32}} \in \left[ {240;300} \right);{x_{33}} \in \left[ {300;360} \right)\).

• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \({x_{17}}\) thuộc nhóm \(\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {60;120} \right)}\end{array}\)

Ta có: \(n = 33;{n_m} = 10;C = 8;{u_m} = 60;{u_{m + 1}} = 120\)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 60 + \frac{{\frac{{33}}{2} - 8}}{{10}}.\left( {120 - 60} \right) = 111\)

• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_8} + {x_9}} \right)\).

Do \({x_8} \in \left[ {0;60} \right),{x_9} \in \left[ {60;120} \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \({Q_1} = 60\).

• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right)\).

Do \({x_{25}} \in \left[ {120;180} \right),{x_{26}} \in \left[ {180;240} \right)\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \({Q_3} = 180\).

Cỡ mẫu là: \(n = 21\).

Suy ra tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\)là \(\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}\). Do \({x_5};{x_6}\) đều thuộc nhóm [5;10) nên từ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [5;10).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{16}} + {x_{17}}}}{2}\) . Do \({x_{16}};\;{x_{17}}\)đều thuộc nhóm [10; 15) nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [10; 15).

Ta sắp xếp dãy số áo bán được theo dãy tăng dần:

36, 36, 36, …, 36, 37, 37, …, 37, 38, 38, …, 38, …., 42, 42.

Dãy số gồm 465 số nên số trung vị là số đứng ở vị trí thứ 233.

Số thứ 233 là số 39.

Vậy Me = 39.