Gợi ý : CM : a < m < b

Với m , b là 2 số liêm tiếp

nhầm : m,b sai nha là a,b

Nhận xét : 

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\left(1\right)\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a}\left(2\right)\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\left(3\right)\)

Cộng (1) , (2) với (3) ta được : 

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=1\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\)

Nhận xét 2 : 

\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\left(4\right)\)

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a}\left(5\right)\)

\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{c+a+b}\left(6\right)\)

Cộng (4) , (5) với (6) ta được :

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+c+a}+\frac{c+b}{c+a+b}=2\)

Vì \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

=> \(m=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)không phải là số nguyên 

Câu hỏi của Tâm Lê Huỳnh Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

vu thanh tung

Tham khảo nhé

Câu hỏi của Tâm Lê Huỳnh Minh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Gia su : a/a+b > a/a+b+c  (a,b,c THUOC Z )

             b/b+c > b/b+c+a

             c/c+a > c/c+a+b

=> M > 1            (1)

Mat khac , ta lai co : a/a+c < 1 => a/a+b < a+c/a+b+c 

                                                    b/b+c < b+a/b+c+a

                                                    c/c+a < c+b/c+a+b

=> M < 2           (2)

Tu (1) VA (2) => 1 < M < 2 => M ko phai la so nguyen.

Dung 1000000000% luon do, bai nay thay giao mk chua rui!!!

********** K MK NHA!!!

Gọi số dư của a và b khi chia m là n 

Ta có: a=m*k+n 

          b=m*h+n

=>a-b=m*k+n -(m*h+n)

=m*k+n-m*h-n

=(m*k-m*h)+(n-n)

=m(k-h) luôn chia hết m

Đpcm 

Áp dụng bđt AM - GM  cho a,b,c thực dương :

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2\sqrt{b^2}=2b\\\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2c\\\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge2a\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2.\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" ⇔ a = b =c 

M = a/a+b + b/b+c + c/c+a

M > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c

M > a+b+c/a+b+c

M > 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)

M = a/a+b + b/b+c + c/c+a

M < a+c/a+b+c + b+c/a+b+c + b+c/a+b+c

M < 2.(a+b+c)/a+b+c

M < 2 (2)

Từ (1) và (2) => 1 < M < 2, không là số nguyên ( đpcm)

*Ta có :

 a/a+b > a/a+b+c (1)

 b/b+c > b/a+b+c (2)

 c/c+a > c/a+b+c (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra:

 a/a+b + b/b+c + c/c+a > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c = a+b+c/a+b+c = 1 (a)

*Ta có công thức: 

 - Với a; b và c thuộc N* ta có thể rút ra:

 a/b < a+c/b+c

 Áp dụng công thức trên, ta có:

 a/a+b < a+c/a+b+c (4)

 b/b+c < b+a/a+b+c (5)

 c/c+a < c+b/a+b+c (6)

Từ (4); (5) và (6) suy ra:

 a/a+b + b/b+c + c/c+a < a+c/a+b+c + b+a/a+b+c + c+b/a+b+c = a+c+b+a+c+b/a+b+c = 2a+2b+2c/a+b+c = 2(a+b+c)/a+b+c = 2 (b)

Từ (a) và (b) suy ra:

 1 < a/a+b + b/b+c + c/c+a < 2

=> 1 < M < 2

=> M không phải là số nguyên.

Vậy M không phải là số nguyên.

Để M không phải là số nguyên thì cần chứng minh 1 < m < 2

Cm : M > 1

a/a + b > a/a + b + c  ; b/b + c > b/a + b +c ; c/c +a > c/a + b +c

suy ra M > a/ a + b + c        +      b/ a + b + c           +  c/a +b +c

       hay M > a + b + c / a +b + c = 1

Cm : M < 2

a/ a + b < 2a/a + b + c , b/b +c < 2b/a +b +c , c/c+a < 2c/a+ b +c

nên M < 2a + 2b +2c / a + b + c

    hay M < 2

 Vì 1 < M < 2 nên M không phải là số nguyên 

Ta có:

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\);    

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)                 (1)

Ta lại có:

\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Vậy P không phải là số nguyên