tam giác ABC vuông tại A có
* BC²=AB²+AC²
  BC²=9²+12²=225
  BC=15cm
* AH.BC=AB.AC
  AH.15=9.12
AH.15=108
  AH=7,2cm
\(sinB=\dfrac{4}{5};cosB=\dfrac{3}{5};tanB=\dfrac{4}{3};cotanb=\dfrac{3}{4}\)
\(=>sinC=\dfrac{3}{5};cosC=\dfrac{4}{5};tanC=\dfrac{3}{4};cotanC=\dfrac{4}{3}\)

b)
tam giác ABC vuông tại A có
AC.AK=AH²
HB.HC=AH²
=>AC.AK=HB.HC
\(=>\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{HB}{AK}\)

Vì \(\widehat{B}=120^0\) nên đường cao AH ứng với cạnh BC sẽ nằm ngoài tam giác ABC

Ta có: \(\widehat{ABH}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABH}+120^0=180^0\)

hay \(\widehat{ABH}=60^0\)

Xét ΔABH vuông tại H có

\(\widehat{ABH}=60^0\)(cmt)

nên \(\sin\widehat{ABH}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\); \(\cos\widehat{ABH}=\dfrac{1}{2}\); \(\tan\widehat{ABH}=\sqrt{3}\); \(\cot\widehat{ABH}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Xét ΔABH vuông tại H có 

\(\widehat{BAH}=30^0\)

nên \(\sin\widehat{BAH}=\dfrac{1}{2}\); \(\cos\widehat{BAH}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\); \(\tan\widehat{BAH}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\); \(\cot\widehat{BAH}=\sqrt{3}\)

b: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=21\\AC^2=28\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{21}\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{B}=\cos\widehat{C}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\)

\(\cos\widehat{B}=\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)

\(\tan\widehat{B}=\cot\widehat{C}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{21}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(\cot\widehat{B}=\tan\widehat{C}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{21}}{2\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

a) Ta có: BD là tia phân giác của \(\widehat{CBA}\)(gt)

nên \(\widehat{CBD}=\widehat{ABD}=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)

Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC tại E

Ta có: BD//AE(gt)

nên \(\widehat{CBD}=\widehat{BEA}\)(hai góc đồng vị) và \(\widehat{ABD}=\widehat{BAE}\)(hai góc so le trong)

mà \(\widehat{CBD}=\widehat{ABD}=60^0\)(cmt)

nên \(\widehat{BEA}=\widehat{BAE}=60^0\)

Xét ΔBEA có \(\widehat{BEA}=\widehat{BAE}=60^0\)(cmt)

nên ΔBEA đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

\(\Leftrightarrow BA=BE=EA=6\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow CE=CB+BE=12+6=18\left(cm\right)\)

Xét ΔCEA có BD//AE(gt)

nên \(\dfrac{BD}{AE}=\dfrac{CB}{CE}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{6}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}\)

hay BD=4(cm)

b) Ta có: M là trung điểm của BC(gt)

nên \(MB=MC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

Xét ΔBAM có BA=BM(=6cm)

nên ΔBAM cân tại B(Định nghĩa tam giác cân)

mà BD là đường phân giác ứng với cạnh AM(gt)

nên BD là đường cao ứng với cạnh AM(Định lí tam giác cân)

hay BD⊥AM(đpcm)

Giải: