\(x^2+x+\frac{1}{2}\)

\(=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}>;0\forall x\)

Vậy đa thức trên vô nghiệm

+)\(K\left(x\right)=P\left(x\right)+Q\left(x\right)=x^5+2x^2+7x^4-1-x^2-x^5+5-7x^4=x^2+4\)

+) \(K\left(x\right)=x^2+4\)

Ta có: \(x^2\ge0\forall x\Rightarrow x^2+4\ge4>0\)

--> Vô nghiệm

1/ Ta có H (x) có một nghiệm bằng 2

=> H (2) = 0

=> \(4a-2+1=0\)

=> \(4a-\left(2-1\right)=0\)

=> \(4a-1=0\)

=> \(4a=1\)

=> \(a=\frac{1}{4}\)

Vậy khi \(a=\frac{1}{4}\)thì H (x) có một nghiệm bằng 2.

2/

Ta có \(x^4\ge0\)với mọi giá trị của x

=> \(x^4+101>0\)với mọi giá trị của x

=> f (x) không có nghiệm (đpcm)

3/

Ta có \(g\left(1\right)=-2-7.1+8=-2-7+8=-9+8=-1\ne0\)

=> 1 không phải là nghiệm của đa thức g (x)

và \(g\left(3\right)=-2-7.3+8=-2-21+8=-23+8=-15\ne0\)

=> 3 không phải là nghiệm của đa thức g (x)

2. Chứng minh f(x)=x⁴ + 101 không có nghiệm

Ta có:x⁴+101=0

=>x⁴=-101

=>phương trình vô nghiệm vì x^4\(\ge\)0 mà -101<0

x^8>hoặc=0 với mọi x

x^5>hoặc=0 với mọi x

x^2>hoặc=0 với mọi x

suy ra x^8-x^5+x^2>hoặc=0 với mọi x

suy ra x^8-x^5+x^2+1>hoặc=1 với mọi x

Vậy đa thức trên không có nghiệm

(x + 1)(x + 2)(x + 5) − x²(x + 8) = 27

x² + 2x + x + 2(x + 5) − x³ − 8x² = 27

x²(x + 5) + 2x(x + 5) + x(x + 5) + 2(x + 5) − x³ − 8x² = 27

x³ + 5x² + 2x² + 10x + x² + 5x + 2x + 10 − x³ − 8x² = 27

17x + 10 = 27

17x = 17

    x = 17 : 17

    x = 1

Vậy x = 1