Cho các số nguyên dương n,a,b,c,d thỏa mãn n2\(\le\)a<b\(\le\)c<d<(n+1)2. Chứng minh rằng |ad-bc|\(\ge\)1.
Cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn \(a< b\le c< d;ad=bc;\sqrt{d}-\sqrt{a}\le1\). Chứng minh rằng a là 1 số chính phương
1/tìm số n nguyên dương thỏa mãn
\(\sqrt{\left(3+2\sqrt{2}\right)^n}+\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^n}=6\)
2/ cho a, b là các số dương thỏa mãn \(1\le a\le b\le2\)
tìm GTLN của \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
Tìm số nguyên dương n lớn nhất để bất đẳng thức sau thỏa mãn
\(\frac{1}{\sqrt[n]{\left(na+b+c\right)^4}}+\frac{1}{\sqrt[n]{\left(a+nb+c\right)^4}}+\frac{1}{\sqrt[n]{\left(a+b+nc\right)^4}}\le\frac{3}{16}\)
trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a+b+c\)
Đặt bđt là (*)
Để (*) đúng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn :
\(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)thì \(a=b=c=1\) cũng thỏa mãn (*)
\(\Rightarrow4\le\sqrt[n]{\left(n+2\right)^2}\)
Mặt khác: \(\sqrt[n]{\left(n+2\right)\left(n+2\right).1...1}\le\frac{2n+4+\left(n-2\right)}{n}=3+\frac{2}{n}\)
Hay \(n\le2\)
Với n=2 . Thay vào (*) : ta cần CM BĐT
\(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+c+a\right)^2}+\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{3}{16}\)
Với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn: \(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vì: \(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{\left(2b+a+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)};\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)
Ta cần CM:
\(\frac{a+b+c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{3}{16}\Leftrightarrow16\left(a+b+c\right)\le6\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Ta có BĐT: \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Và: \(3\left(ab+cb+ac\right)\le3abc\left(a+b+c\right)\le\left(ab+cb+ca\right)^2\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\)
=> đpcm
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c
=> số nguyên dương lớn nhất : n=2( thỏa mãn)
Tìm các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a! + b! + c! = 2d! trong đó kí hiệu n! = 1.2.3...n.
Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd. CMR \(A=a^n+b^n+c^n+d^n\) là một hợp số với mọi số tự nhiên n
Đặt (a;c)=q thì a=\(qa_1\) ; c=\(qc_1\) (Vs (a1;c1=1)
\(\Rightarrow\) ab=cd \(\Leftrightarrow\)ba1=dc1
Dẫn đến \(d⋮a_1\)
Đặt \(d=a_1d_1\) thay vào đc:
\(b=d_1c_1\)
Vậy \(a^n+b^n+c^n+d^n=q^2a^n_1+d^n_1c^n_1+q^nc^n_1+a^n_1d^n_1=\left(c^n_1+a^n_1\right)\left(d^n_1+q^n\right)\)
là hợp số (QED)
Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in Z\). Gọi d là UCLN(a,b). CMR: \(d\le\sqrt{a+b}\)
Ta có: \(\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}=\frac{ab+a+b+ab}{ab}=2+\frac{a+b}{ab}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}\in Z\forall a,b>0\) nên \(\frac{a+b}{ab}\ge1\Rightarrow a+b\ge ab\)
Do d là ước a nên \(a⋮d\Rightarrow a\ge d>0\)
d là ước b nên \(b⋮d\Rightarrow b\ge d>0\)
Suy ra \(ad\ge d^2\Rightarrow a+b\ge d^2\Rightarrow\sqrt{a+b}\ge d\)
Điều phải chứng minh
\(P=\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}=2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2+\frac{a+b}{ab}\)
\(\hept{\begin{cases}a,b>0\\P\in Z\end{cases}\Rightarrow ab\le\left(a+b\right)}\)(*) a,b vai trò như nhau; g/s \(a\le b\Rightarrow d\le a\le b\Rightarrow d^2\le ab\)
Từ (*)\(\Rightarrow d^2\le ab\le\left(a+b\right)\Rightarrow d\le\sqrt{ab}\le\sqrt{a+b}\)
Đẳng thức chỉ xẩy ra khi a=b=2=> dpcm
1.Cho a,b,c là các số nguyên tố thoả mãn: ab + 1 = c. CMR: a2+ c hoặc b2+ c là số chính phương
2.Cho m,n là các số nguyên dương thoả mãn: m2+n2+m⋮mn. CMR: m là một số chính phương
cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn ab=cd. chứng minh rằng A=an+bn+cn+dn là một hợp số với mọi số tự nhiên n
Lớp 6 khó vậy sao?
ab=cd (*)
a=b=c=d=1 => A=4=2.2 đúng
a=[c,d]
b=[c,d]
a,b,c,d, vai trò như nhau
g/s a=c; b=d
A=2a^2+2b^2 =2.(a^2+b^2) => A hợp số
với a,b,c,d >1, và a,b,c,d khác nhau
ta có
đảm bảo (*)
( không tồn tại ab=cd khác nhau mà nguyên tố)
g/s a và c có ước lớn nhất p
ta có a=x.p và c=y.p ( do p lớn nhất => (x,y)=1)(**)
từ ab=cd=> x.p.b=y.p.d
từ (**)=> b=y.q và d=x.q
thay hết vào A
A=x^n .p^n+y^n.q^n^n+y^n.p^n+x^n.q^n =x^n(p^n+q^n)+y^n(p^n+q^n)=(x^n+y^n)(p^n+q^n)
A=B.C --> dpcm
gọi \(d'\)là \(ƯCLN\left(a,c\right)\)
\(\Rightarrow a=d'p;b=d'q;\left(m,n\right)=1;p,q\inℕ^∗\)
\(ab=cd\Rightarrow d'bp=d'dq\Rightarrow bp=dq\)
Mà \(\left(p,q\right)=1\Rightarrow b⋮q\)
Đặt \(b=qk\)do đó \(d=pk\)\(k\inℕ^∗\)
Ta có:\(A=d'^n\cdot p^n+q^n\cdot k^n+d'^n\cdot q^n+p^n\cdot k^n\)
\(=d'^n\cdot p^n+d'^n\cdot q^n+q^n\cdot k^n+p^n\cdot k^n\)
\(=d'^n\left(p^n+q^n\right)+k^n\left(p^n+q^n\right)\)
\(=\left(d'^n+k^n\right)\left(p^n+q^n\right)>0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
giúp mình với!!!
bài 1: cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a.b =c.d.CMR A= a mũ n + b mũ n + c mũ n + d mũ n là một hợp số với mọi số tự nhiên n