Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ hai tiếp xuyến Ax, By với nửa đường tròn. M là một điểm nằm trên nửa đường tròn (M khác A và B), từ M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D
a: Xét (O) có
CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm
CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm
Do đó: CM=CA
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm
DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm
Do đó: DM=DB
Ta có: CM+MD=CD
mà CM=CA
và DM=DB
nên CD=CA+DB
: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M nằm trên nửa đường tròn đó. H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB. a. Khi AH=2cm, MH=4cm. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng: AB, MA, MB.
b. Khi điểm M di động trên nửa đường tròn (O). Hãy xác định vị trí của M để biểu thức: có giá trị nhỏ nhất.
c. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tiếp tuyến của (O) tại A ở D, OD cắt AM tại I. Khi điểm M di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên đường nào ?
a/
Ta có \(\widehat{AMB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
Xét tg vuông AMB có
\(MH^2=AH.BH\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền = tích giữa các hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
\(\Rightarrow BH=\dfrac{MH^2}{AH}=\dfrac{4^2}{2}=8cm\)
\(\Rightarrow AB=AH+BH=2+8=10cm\)
\(MA^2=AH.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow MA=\sqrt{AH.AB}=\sqrt{2.10}=2\sqrt{5}cm\)
\(MB^2=BH.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow MB=\sqrt{BH.AB}=\sqrt{8.10}=4\sqrt{5}cm\)
b/ Không rõ bạn hỏi biểu thức nào?
c/
Ta có \(OD\perp AM\) (2 tiếp tuyến cùng xuất phát từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)
Xét tg vuông AIO
Gọi K là trung điểm của AO => AK=OK
\(\Rightarrow IK=AK=OK=\dfrac{1}{2}AO\) không đổi (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Ta có
A; O cố định => K cố định; IK không đổi => khi M di chuyển trên nửa (O) => I chạy trên nửa đường tròn tâm K
cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C nằm giữa A và B ( AC < AB). Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A và B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt tia Ax tại P
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và 1 điểm M nằm trên nửa đường tròn đó . Kẻ MH vuông góc AB vẽ các nửa đường tròn , đường kính AH và BH nằm trong nửa đường tròn (O) . MA , MB cắt các nửa đường tròn trên lần lượt tại P và Q
a, CM : PQ=MH
b, CM : MP.MA=MQ.MB
C, CM : PQ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn đường kính AH và BH
d, Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để tứ giác MPHQ là hình vuông
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ M nằm trên nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến xy với(O). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên xy.c/m
a) M là trung điểm HK
b) AB tiếp xúc với đường tròn đường kính HK
a: Xét hình thang AHKB có
O là trung điểm của AB
OM//AHKB
Do đó: M là trung điểm của HK
b: Kẻ MN vuông góc với AB
Xét tứ giác AHMN có \(\widehat{AHM}+\widehat{ANM}=180^0\)
=>AHMN là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{MAN}=\widehat{MHN}\)
Xét tứ giác MNBK có \(\widehat{MNB}+\widehat{MKB}=180^0\)
=>MNBK nội tiếp
=>\(\widehat{MBN}=\widehat{MKN}\)
Xét (O) có
ΔMAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
=>\(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}=90^0\)
=>\(\widehat{NHK}+\widehat{NKH}=90^0\)
=>ΔNKH vuông tại N
ΔNKH vuông tại N có NM là trung tuyến
nên MH=MN
Xét (M) có
MN là bán kính
AB vuông góc MN tại N
Do đó: AB là tiếp tuyến của (M)
=>ĐPCM
Cho nửa đường tròn(o) đường kính AB và điểm M nằm trên nửa đường tròn đó. Kẻ MH vuông góc AB và BH nằm trong nửa đường tròn(o), MA,MB cắt các nửa đường tròn trên lần lượt tai P và Q. Chứng minh rằng a) PQ=MH b)MP.MA=MQ.MB c)PQ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn d) tứ giác ABQP nội tiếp đường tròn e) xác định vị trí của M trên nửa đường tròn(o) để tứ giác MPHQ là hình vuông
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:
1) Các tứ giác: ACMD; BCKM nội tiếp đường tròn.
2) CK.CD = CA.CB
3) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn (O) chứng minh B, K, N thẳng hàng
1:
góc AMB=1/2*sđ cung AB=90 độ
=>AM vuông góc BD
góc ACD=góc AMD=90 độ
=>ACMD nội tiếp
góc KCB+góc KMB=180 độ
=>BMKC nội tiếp
2: Xét ΔCAK vuông tại C và ΔCDB vuông tại C có
góc CAK=góc CDB
=>ΔCAK đồng dạng với ΔCDB
=>CA/CD=CK/CB
=>CA*CB=CD*CK
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt CI tại D. Chứng minh :
a) Các tứ giác : ACMD ; BCKM nội tiếp đường tròn
b) CK.CD = CA.CB
c) Gọi N là giao điểm của AD và (O). Chứng minh rằng : B, K, M thẳng hàng
cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R ( M không trùng với A,B ). trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB kẻ tiếp tuyến Ax. đường thẳng BM cắt x tại I tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E cắt IB tại F, đường tẳng BE cắt AI tại H , cắt AM tại K.
a) cm 4 điểm F,E,K,M cùng nằm trên cùng 1 đường tròn( ko cần chứng minh)
b) cm. HF vuông góc với BI
c) xác định vị trí của M trên nửa đường tròn tâm O để chu vi tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O;R) vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (O;R).Gọi M là 1 điểm bất kì trên nửa đường tròn (O;R) ,(M≠A;M≠B) Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax,By lần lượt tại C và D
a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp , tứ giác OMDN nội tiếp
b) Chứng minh AC.BD=R²
c) Kẻ MN vuông góc AB (N thuộc AB) ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung điểm của MN
a: góc CAO+góc CMO=180 độ
=>CAOM nội tiếp
góc DMO+góc DBO=180 độ
=>DMOB nội tiếp
b: Xét (O) có
CM,CA là tiếp tuyến
=>CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)
Từ (1), (2) suy ra góc DOC=1/2*180=90 độ
Xét ΔDOC vuông tại O có OM là đường cao
nên CM*MD=OM^2
=>AC*BD=R^2
