Cho a,b,c>0 chứng minh \(\frac{a^2}{b+c}\)+\(\frac{b^2}{a+c}\)+\(\frac{c^2}{a+b}\)lớn hơn hoặc bằng\(\frac{a+b+c}{2}\)
Những câu hỏi liên quan
Biết a,,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và 0 nhỏ hơn hoặc bằng t nhỏ hơn hoặc bằng 1 chứng minh rằng :
\(\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}}\)lớn hơn hoặc bằng \(2\sqrt{t+1}\)
Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)nhỏ hơn hoặc bằng 3
Chứng minh rằng \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)lớn hơn hoặc bằng 3
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)
\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)
Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)
Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a + b + c = 3. Chứng minh \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\)lớn hơn hoặc bằng 3
Cho a, b, c lớn hơn 0. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{b}\) BĐT Cô-si
Tương tự suy ra đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}>=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
dấu hiệu >= có nghĩa là lớn hơn hoặc bằng nha
Cho a,b,c >0 và abc =1
Chứng minh P = \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\) lớn hơn hoặc bằng \(\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c,d>0
Chứng minh:
\(\frac{a^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)+ \(\frac{b^2}{\left(b+c+d\right)^2}\)+\(\frac{c^2}{\left(c+d+a\right)^2}\)+\(\frac{d^2}{\left(d+a+b\right)}\)lớn hơn hoặc bằng \(\frac{9}{4}\)
Các bạn trình bày chi tiết hộ mk nhé. Lm đc bài nào thì lm. Xin cảm ơnBài 1:cho a,b,c 0Chứng minh left(a^2+2bcright)left(b^2+2acright)left(c^2+2abright) lớn hơn hoặc bằng abcleft(a+2bright)left(c+2aright)left(b+2cright)Bài 2Cho a,b,c 0Chứng minh frac{a}{sqrt{a^2+8bc}}+frac{b}{sqrt{b^2+8ac}}+frac{c}{sqrt{c^2+8ab}}lớn hơn hoặc bằng 1
Đọc tiếp
Các bạn trình bày chi tiết hộ mk nhé. Lm đc bài nào thì lm. Xin cảm ơn
Bài 1:
cho a,b,c > 0
Chứng minh \(\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ac\right)\left(c^2+2ab\right)\) lớn hơn hoặc bằng \(abc\left(a+2b\right)\left(c+2a\right)\left(b+2c\right)\)
Bài 2
Cho a,b,c > 0
Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\)lớn hơn hoặc bằng 1
Với các số dương a,b,c chứng minh:\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+2a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+2b\right)^2}\) lớn hơn hoặc bằng 2/9 (a+b+c)
SD bất đẳng thức Côsi:
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)^2}+\frac{b+2c}{27}+\frac{b+2c}{27}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(b+2c\right)^2}.\frac{b+2c}{27}.\frac{b+2c}{27}}=\frac{a}{3}\)
Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)