\(M=\frac{2}{1.2}+\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+...+\frac{2}{99.100}\)

\(M=2\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)

\(M=2\left(1-\frac{1}{100}\right)\)

\(M=2.\frac{99}{100}\)

\(M=\frac{99}{50}\)

\(N=\frac{3}{1.3}+\frac{3}{3.5}+\frac{3}{5.7}+...+\frac{3}{97.99}\)

\(N=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{97}-\frac{1}{99}\right)\)

\(N=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{99}\right)\)

\(N=\frac{3}{2}.\frac{98}{99}\)

\(N=\frac{49}{33}\)

sửa đề câu a  và câu b  nhá  , mik nghĩ đề như này :

  \(\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\frac{2}{5\cdot7}+\frac{2}{7\cdot9}+...+\frac{2}{213\cdot215}\)

 \(=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{213}-\frac{1}{215}\)

= \(\frac{1}{1}-\frac{1}{215}\)

\(=\frac{214}{215}\)

b, đặt \(A=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+...+\frac{1}{213\cdot215}\)

    \(A\cdot2=\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5\cdot7}+\frac{2}{7\cdot9}+...+\frac{2}{213\cdot215}\)

\(A\cdot2=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{213}-\frac{1}{215}\)

\(A\cdot2=\frac{1}{1}-\frac{1}{215}\)

\(A\cdot2=\frac{214}{215}\)

\(A=\frac{214}{215}:2\)

\(A=\frac{107}{215}\)

@ミ★Ŧɦươйǥ★彡 cảm ơn bạn nhiều

trả lời hiền thương đề bài của bạn ấy là đúm gòi nha

a) \(\dfrac{1}{1\times3}+\dfrac{1}{3\times5}+\dfrac{1}{5\times7}+...+\dfrac{1}{x\times\left(x+3\right)}=\dfrac{99}{200}\)

Ta có: \(\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\times\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)\times\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right)\times\dfrac{1}{2}+...+\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+3}\right).\dfrac{1}{2}=\dfrac{99}{200}\)

\(\dfrac{1}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+3}\right)=\dfrac{99}{200}\)

\(\dfrac{1}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{x+3}\right)=\dfrac{99}{200}\)

\(1-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{99}{200}:\dfrac{1}{2}\)

\(1-\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{99}{100}\)

\(\dfrac{1}{x+1}=1-\dfrac{99}{100}\)

\(\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{100}\)

\(\Rightarrow x+1=100\)

\(x=100-1\)

\(x=99\)

câu b thiếu kết quả đúng không bn?

Công thức: \(\dfrac{1}{a\times b}=\) 1/ khoảng cách giữa a và b \(\times\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\)

* Bạn làm theo công thức và vẫn dụng câu b nhé.

a)\(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+...+\dfrac{2}{99.101}\)

= \(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{101}\)

= \(1-\dfrac{1}{101}\)

=\(\dfrac{100}{101}\) 

\(\dfrac{5}{1.3}+\dfrac{5}{3.5}+\dfrac{5}{5.7}+...+\dfrac{5}{99.101}\)

=\(\dfrac{5}{2}.\left(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+...+\dfrac{2}{99+101}\right)\)

=\(\dfrac{5}{2}.\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{101}\right)\) 

=\(\dfrac{5}{2}.\left(1-\dfrac{1}{101}\right)\)

= \(\dfrac{5}{2}-\dfrac{100}{101}\)

= \(\dfrac{305}{202}\)

Bài 16: 

A = \(\dfrac{2n+1}{3n+1}\); đkxđ n \(\ne\) - \(\dfrac{1}{3}\)

Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 là d

Ta có: 2n + 1 ⋮ d; 3n + 1 ⋮ d

2n + 1 ⋮ d ⇒ 3.(2n + 1) ⋮ d ⇒ 6n + 3 ⋮ d

3n + 1 ⋮ d ⇒ 2.( 3n+ 1) ⋮ d ⇒ 6n + 2 ⋮ d

 ⇒ 6n + 3 - (6n + 2) ⋮ d ⇒ 6n + 3 - 6n - 2⋮ d

                                     ⇒ 1 ⋮ d ⇒ d = 1

Ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 3n + 1 là 1 

Hay 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

=1-1/3+1/3-1/5+....+1/13-1/15

=1-1/15=14/15

=1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11

=1-1/11=10/11

đáp số:10/11

\(\frac{2}{1\times3}+\frac{2}{3\times5}+\frac{2}{5\times7}+\frac{2}{7\times9}+\frac{2}{9\times11}\)

\(=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\)

\(A\times2=1-\frac{1}{11}\)

\(=\frac{10}{11}\)

\(\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\frac{2}{5\cdot7}+\frac{2}{7\cdot9}+\frac{2}{9\cdot11}\)

\(=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\)

\(2A=1-\frac{1}{11}\)

\(=\frac{10}{11}\)

\(\dfrac{2}{1\times3}+\dfrac{2}{3\times5}+...+\dfrac{2}{99\times101}\\ =1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{101}\\ =1-\dfrac{1}{101}\\ =\dfrac{100}{101}\)

= 100/101