a: Ta có: \(CD=DA=\dfrac{CA}{2}\)

\(CE=EB=\dfrac{CB}{2}\)

mà CA=CB

nên CD=DA=CE=EB

Xét ΔCEA và ΔCDB có 

CE=CD

\(\widehat{DCB}\) chung

CA=CB

Do đó: ΔCEA=ΔCDB

Suy ra: AE=BD

b: Xét ΔCAB có 

\(\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

Do đó: DE//AB

a: Xét ΔBAD và ΔBCE có

BA=BC
góc B chung

BD=BE

=>ΔBAD=ΔBCE

=>AD=CE

b: Xét ΔBAC có BE/BA=BD/BC

nên ED//AC

c: Xet ΔACB co

AD,CE là trung tuyến

AD cắt CE tại I

=>I là trọng tâm

=>M là trung điểm của AC

=>IM vuông góc AC

lỗi hay sao ý, mik ko thầy hình

c: Xét ΔCAB có

AE,BD là trung tuyến

AE cắt BD tại M

=>M là trọng tâm

=>Cm là đường trung tuyến của ΔACB

=>CM=2/3CI

ΔCAB cân tại C

mà CM là trung tuyến

nên CM vuông góc AB tại I

AI=BI=12cm

=>CI=căn 15^2-12^2=9cm

=>MI=3cm

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

a: Xét ΔCAB có

AE,BD là trung tuyến

AE cắt BD tại M

=>M là trọng tâm

=>CI là trung tuyến

=>CI vuông góc AB

=>IM vuông góc AB

1) Do DN // AB nên ^DNC = ^BAC (Đồng vị). Mà ^BAC = ^DBC nên ^DNC = ^DBC => Tứ giác BNCD nội tiếp

Suy ra 5 điểm B,O,N,C,D cùng thuộc 1 đường tròn  => ^BND = ^BOD = ^COD = ^CND

Ta có: DN // AB => ^BND = ^ABN. ^CND = ^NAB => ^NBA = ^NAB => \(\Delta\)ANB cân tại N (đpcm).

2) Ta có: ^DCM = ^DNB = ^DNC => \(\Delta\)DMC ~ \(\Delta\)DCN => DC² = DM.DN. Dễ thấy: DC² = DI.DA

Suy ra: DM.DN = DI.DA => Tứ giác AIMN nội tiếp => ^IMK = ^IAN = ^IBC => \(\Delta\)MIK ~ \(\Delta\)MKB (g.g)

=> KM² = KI.KB. Ta lại có: ^KDI = ^IAB = ^KBD => \(\Delta\)IKD ~ \(\Delta\)DKB (g.g) => KD² = KI.KB

Từ đó: KM² = KD² => KM = KD = DM/2. Do G là trung điểm KD nên \(\frac{GM}{GK}=3\) (1)

Gọi giao điểm của tia AD và tia ND là R. Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{QB}{QM}=\frac{AB}{MR}\) (2)

Nếu ta gọi giao của PI với BC là V, theo phép vị tự thì I là trung điểm của PV. Từ đó suy ra: GM=GR

Mà GD = GK = GM/3 nên DK = MR/3. Lại áp dụng hệ quả ĐL Thales:  \(\frac{IK}{IB}=\frac{DK}{AB}=\frac{MR}{3AB}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra: \(\frac{GM}{GK}.\frac{QB}{QM}.\frac{IK}{IB}=3.\frac{AB}{MR}.\frac{MR}{3AB}=1\). Theo đk đủ của ĐL Mélelaus thì 3 điểm Q,I,G tương ứng nằm trên các cạnh BM,BK,KM của \(\Delta\)BKM thẳng hàng (đpcm).

3) Gọi (HCS) cắt (O) tại điểm thứ hai là T. E là giao điểm của OD và BC.

Ta thấy: ^TBD = ^TCB = ^THS = ^THD (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây + Góc nội tiếp) => Tứ giác BHTD nội tiếp

Từ đó: 5 điểm B,H,E,T,D cùng thuộc 1 đường tròn => ^BTD = ^BED = 90⁰ 

Mặt khác: ^DTE = 180⁰ - ^DBE = 180⁰ - ^BAC = ^BTC => ^DTE = ^BTC => ^BTD = ^CTE

Suy ra: ^CTE = 90⁰ => T nằm trên đường tròn (CE) cố định. Mà T cũng thuộc (O) cố định.

Nên T là điểm cố định. Do đó: Dây CT của đường tròn (HCS) cố định

=> Tâm L của (HCS) luôn nằm trên đường trung trực của đoạn CT cố định (đpcm).